tailieunhanh - Chuyên đề 3: Nhị thức Newton

Chuyên đề 3: Nhị thức Newton trình bày trình bày công thức trong nhị thức Newton, các ví dụ và bài tập kèm hướng dẫn giải giúp các em học tốt phần nhị thức Newton để chuẩn bị cho các kì thi ĐH, CĐ. | Chuyên đề 3 Nhị thức Newton Nhị thức Newton là công thức khai triển biểu thức a ò n với n nguyên dương dưới dạng đa thức n a bỴ1 ckan kbk. k 0 Công thức trên có nhiều ứng dụng trong toán học và đã được biết đến từ trước thời Newton. Còn bản thân Newton đã mở rộng khai triển đó cho trường hợp n âm và phân. Ngoài ra người ta cũng chứng minh được công thức tổng quát của khai triển này - 77 Ị _ _ 1 a2 . am n 52 í 1 . Ị L . bm. ni n2 . nm n z m Trong các kì thi tốt nghiệp THPT kì thi đại học và các kì thị học sinh giỏi chúng ta thường xuyên bắt gặp các bài toán liên quan đến công thức khai triển nhị thức Newton. Ví dụ 1. Trong khai triển ữ ồ cho a b 1 ta có đẳng thức cữn cln . C 2n. Cho a 1 b 1 ta có C - C . -l nC 0. Đặc biệt khi n chẵn thay n bởi 2n ta có r Co I z 2 Ị I z 2n pl I Z f3 I I Zi2n 1 2n - 2n u2n - in T - in T 2n 53 54 Chuyên đề 3. Nhị thức Newton Khi n lẻ thay n bỏi 2n 1 ta có Co I i2 Ị I Zi2n ______________ I z 3 I I z 2n l 2n l L 2n 1 2n l . u2n 2n 2n l Bằng cách tương tự bạn đọc có thể tìm thêm các đẳng thức tổ hợp thú vị khác. Ví dụ 2. Cho n là số nguyên dượng. Hãy tính tổng sau s c 2C2 . nC . Cách giải 1. Biến đổi số hạng tổng quát . Ta có k 1. n- n-1 k-i kC k. . 7-Y7 nC _ . n kỉ n k ỉ ịk - l n - k l nl Do đó s n CJ_ c _ . c ìì - . Cách giải 2. Sử dụng đạo hàm . Xét khai triển 1 xỴ cữn c x C2nx2 . C xn. Lấy đạo hàm hai vế theo biến X ta được n l rr -1 c 2C2X . nty1. Cho X 1 ta có s Ví dụ 3. Cho n là số nguyên dương. Hãy tính tổng sau Cách giải 1. Biến đổi số hạng tổng quát. Ta có S- 1 n 1 n 1 1 1 k 1 k 1 k n k n 1 k l n k n 1 n 1 Do đó s ĨT T - I V I X ì b I X Chuyên đề 3. Nhị thức Newton 55 Cách giải 2. Sử dụng tích phân . Xét khai triển 1 x n cũn cỵnx c2nx2 . c xn. Lấy tích phân hai vế từ 0 đến 1 ta có 1 z n 1 1 n 1 0 -2 3 1 1 Cũnx C C2n . C f 2 n 3 n ỉj 0 2n ỉ 1 Suy ra s ---- J n 1 Ví dụ 4. Cho n là số nguyên dương. Hãy chứng minh đẳng thức tổ hợp sau O2 2 . ra2 c2v Lời giải. Ta thấy c n là hệ số của xn trong khai triển nhị thức .