tailieunhanh - Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Giải một số phương trình tích phân tuyến tính và áp dụng

Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý, cơ học,. Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân Volterra. Trong luận văn này chỉ xét phương trình tích phân Fredholm; nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp. | ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Tự NHIÊN ĐÀO THỊ THANH GIẢI MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYEN tính VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành TOÁN GIẢI TÍCH Mã số LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY CHUẨN Hà Nội - Năm 2014 Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 Khái niệm phương trình tích phân. 4 Một số kiến thức chuẩn bị. 5 Phương trình tích phân Fredholm loại hai với nhân tách biến . 9 2 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN TỔNG QUÁT 14 Phương pháp thế liên tiếp. 14 Phương pháp xấp xỉ liên tiếp . 17 Các định lý Fredholm. 21 Cấu trúc của nhân giải. 29 3 PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN FREDHOLM LOẠI HAI VỚI NHÂN HERMITIAN 34 Một số tính chất của nhân Hermitian . 34 Các giá trị riêng của nhân Hermitian. 36 Các hàm riêng của nhân Hermitian. 44 Định lý Hilbert-Schmidt. 51 KẾT LUẬN. 64 Tài liệu tham khảo. 65 1 MỞ ĐẦU Các phương trình tích phân xuất hiện rất tự nhiên khi ta nghiên cứu các bài toán lý thuyết cũng như các bài toán xuất phát từ vật lý cơ học . Hai loại phương trình tích phân rất quan trọng được nghiên cứu và phát triển vào đầu thế kỉ 20 là phương trình tích phân Fredholm và phương trình tích phân Volterra. Trong luận văn này ta chỉ xét phương trình tích phân Fredholm. Ta sẽ nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân Fredholm loại hai và chỉ ra phương pháp giải cụ thể trong một số trường hợp. Luận văn được chia thành ba chương Chương 1. Kiến thức chuẩn bị. Chương này cung cấp cơ sở lý thuyết cho hai chương sau bao gồm định nghĩa về phương trình tích phân và phân loại các dạng phương trình tích phân. Sau đó là một số tính chất và kí hiệu liên quan đến phương trình tích phân Fredholm loại hai. Thứ ba là định lý Fredholm trong trường hợp nhân có dạng tách biến. Chương 2. Phương trình tích phân Fredholm loại hai đối với nhân tổng quát. Mục đích của chương này là trình bày về phương trình tích phân Fredholm loại hai đưa ra một số phương pháp giải là phương pháp thế