tailieunhanh - Chương 3: Các phương pháp chứng minh đẳng thức

Chương 3 "Các phương pháp chứng minh đẳng thức" trình bày về phương pháp dồn biến đối với các bất đẳng thức 3 biến, phương pháp dồn biến và định lý dồn biến mạnh,. Với các bạn đang học và ôn thi môn Toán thì đây là tài liệu tham khảo hữu ích. | 216 Chương 3. Các phương phấp chứng minh bất đẳng thức Phương pháp dồn biến đối với các bất đẳng thức 3 biến Không phải với mọi bài toán thì bất đẳng thức điều kiện luôn đúng tuy rằng đẳng thức thì vẫn chỉ xảy ra trong trường hợp tất cả các biến bằng nhau. Thông thường bất đăng thức điều kiện sẽ đúng nếu ta thêm các điều kiện khác cho các biến. Cách hay làm nhất là sắp xếp lại thứ tự cho các biến số. Đây là sự hạn chế trong trường hợp tổng quát nhưng với các bài toán 3 biến thì luôn rất hiệu quả. Chúng ta hãy xem xét từ bất đẳng thức sau đây. Ví dụ MOSP 2001 . Chứng minh rằng nếu a b c là các số dương có tích bằng 1 thì ta có bát đẳng thức a 6 ò c c a 4 a b c - 1 . LỜI Giải. Ta phải chứng minh f a b c ab a b bc b c ca c a - 4 a b c 6 0. Ta không thể chứng minh được ữ ỏ c f y ãb y ãb c như thế nên bài toán sẽ không thổ giải được bàng phương pháp dồn biến Không hẳn thế bài toán vẫn được chứng minh hoàn toàn bình thường theo tư tưởng của phương pháp dồn biến hơn thế nữa ta không cần sử dụng thêm bất kì định lí hay bổ đề nào cả. Không mất tính tổng quát giả sử a b c. Xét f a b c - f a y bc y bc a2 6c c - 2ựòẽ a ỏ2 c2 - 2ỏc - 4 6 c - 2-ựbẽ y b - ực 2 a2 be - 4 a y b y ẽ 2 y b - ực 2 a ỉ a c 2ựã - 4 . Vì a ò a c 4 a2bc 4 a 1 nên a b c f a y bc y bẽỵ Vậy ta chỉ cần chứng minh bài toán khi b c tức là với b2 1 a thì b a ờ 2 2 ữ 2b 1 . Thay a ỉ b2 vào bất đẳng thức trên ò3 l 2 2 b 2Ò4 - ò3 s b6 - 4Ò4 4Ò3 - 2b 1 0 b - l 2 ò4 2b3 - b2 1 0 ò - l 2 ỏ2 - l 2 2Ò3 b2 0. . Phương pháp dồn hiến và định lí dồn biến mạnh 217 Bất đẳng thức hiển nhiên đúng và đảng thức xảy ra khi a b c 1. Bạn đã thấy chứng minh hoàn thành và ta không cần sử dụng một công cụ mạnh nào cả thậm chí phỉi hợp với trình độ THCS. Ý tưởng chính trong phương pháp chứng minh là thực hiện 2 bước sau đối với bất đẳng thức a b c 0 Chứng minh a b c f a y bc bc nếu a b c hoặc a b c . Chứng minh a ỏ c 0 nếu b c. Từ 2 bước này thì hiểlT nhiên sẽ suy ra kết quả bài toán. Ta chú ý nhiều đến chứng minh bước .