tailieunhanh - Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Định lý tách và một số ứng dụng

Luận văn được chia làm ba chương. Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 là phần chính của luận văn, trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả (Bổ đề Farkas). Chương 3 trình bày các ứng dụng của hai định lý tách để: Chứng minh các điều kiện tối ưu, giải hệ bất đẳng thức lồi, xấp xỉ tuyến tính hàm lồi bởi các hàm non a-phin của nó, chứng minh sự tồn tại dưới vi phân của hàm lồi, vô hướng hóa bài toán tối ưu véc tơ. | MỤC LỤC Mở đầu 2 Chương 1. Các khái niệm cơ bản 4 . Tập lồi. 4 Tổ hợp lồi. 4 Tập a-phin tập lồi đa diện. 6 Nón lồi. 11 . Hàm lồi. 15 Chương 2. Định lý tách các tập lồi. 21 . Định lý tách 1. 21 . Định lý tách Chương 3. Một số ứng dụng của định lý tách. 27 . Điều kiện tối . Hệ bất đẳng thức . Xấp xỉ tuyến tính của hàm . Sự tồn tại dưới vi phân của hàm . Ứng dụng trong phép vô hướng hóa bài toán Kết luận 51 Tài liệu tham khảo 52 1 MỞ ĐẦU Giải tích lồi là một bộ môn cơ bản của giải tích hiện đại nghiên cứu về tập lồi và hàm lồi cùng những vấn đề liên quan. Bộ môn này có vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học ứng dụng đặt biệt là trong tối ưu hóa bất đẳng thức biến phân các bài toán cân bằng. Một trong những vấn đề trung tâm của giải tích lồi là các định lý tách. Về bản chất định lý tách trả lời câu hỏi rằng một phần tử có thuộc một tập lồi hay không và nếu không thuộc thì nó sẽ mang tính chất gì Đây là câu hỏi về liên thuộc một vấn đề cơ bản của toán học. Ta có thể hình dung tập lồi đó là tập hợp nghiệm của một hệ phương trình đại số hay vi tích phân tập các điểm bất động của một ánh xạ hay là tập nghiệm của một bài toán tối ưu . Dĩ nhiên nếu câu trả lời là có thì vấn đề liên thuộc đã được giải quyết. Trái lại nếu câu trả lời là không thì sẽ xảy ra điều gì Điều này giải thích vì sao các định lý tách thuộc loại các định lý chọn và là công cụ rất mạnh thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng trong nhiều vấn đề thuộc những lĩnh vực khác nhau. Trong luận văn này tác giả tập trung vào việc trình bày hai định lý tách và những ứng dụng quan trọng. Luận văn được chia làm ba chương Chương 1 Trình bày một số kiến thức cơ sở của tập lồi và hàm lồi. Chúng là những công cụ cơ bản nhất cho những nghiên cứu được trình bày trong luận văn. Chương 2 Là phần chính của luận văn trong chương này tác giả trình bày nội dung hai định lý tách và hệ quả Bổ đề Farkas .