tailieunhanh - Căn bản về bất đẳng thức trình bày theo cách riêng

Căn bản về bất đẳng thức trình bày theo cách riêng tập trung trình bày các bài học chính về phần nguyên của một số bất kỳ; các bất đẳng thức kinh điển, quan trọng ứng dụng giải một số bài toán hay; các bất đẳng thức liên quan tới thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ; | 1 CẴN BẢN VỀ BẤT ĐẲNG THỨC TRÌNH BÀY THEO CÁCH RIÊNG BÀI 1 PHẦN NGUYÊN CỦA MỘT SỐ BẤT KỲ Việc tiếp thu khái niệm phần nguyên của một số rất dễ dàng. Song le các bài toán liên quan tới nó lại khá xa lạ nếu không nói là khó với nhiều học sinh ĐỊNH NGHĨA PHẦN NGUYÊN CỦA SỐ BẤT KỲ x ký hiệu x Ta gọi phần nguyên của số bất kỳ x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x. Từ định nghĩa ta có đánh giá x x. a Mặt khác vì x là số nguyên lớn nhất không vượt quá x nên ta có đánh giá thứ hai x x 1 b Kết hợp a và b ta có BĐT xác định phần nguyên x của x như sau x x x 1 ví dụ 3 K 4 5 17 6 -2 -5 2 -1 7 7 8 3 từ đó suy ra K 3 137 5 V2 -2 7 7 Luyên tâp 1 viết tắt là Lt Tìm phần nguyên của số x cho bởi biểu thức sau x 1 -h 1 _L 1 Giải Hiển nhiên ta có các đánh giá sau 1 1 1 đọc và hiểu là 1 nhỏ hơn hoặc bằng 1 về mặt logic biểu thức này luôn đúng 0 7 0 8 0 5 0 6 0 5 0 5 0 4 -U 0 5 Cộng các vế tương ứng các bất dẳng thức trên ta được 3 1 x 3 4 tức là x 3. 2 Lt2 Tìm phần nguyên của số x xác định bởi biểu thức sau 1 1 1 1 1 x 1 -T -j -Ị -j . . . V2 V3 V4 V5 -71000000 Giải Tuy bài toán này chỉ khác bài toán trên về số lượng các hạng tử và các hạng tử từ thứ 6 trở đi song ta không thể dùng cách trên để tìm phần nguyên của x được. Để giải bài trên ta xét dãy tổng quát bởi cách thay 1000000 bằng n x 1 . . . và chứng minh bổ đề sau Bổ đề. Với mọi n nguyên dương ta có BĐT 2yỊn 1 - 2y n -j 2y n - 2Vn-1 1 Quả vậy dễ thấy rằng ______ 2 p n 1 -Jn Vạ n 1 Jn 2 I____ Ị 2yjn 1 - 2 Ịn r-- - và vì yjn 1 Vn nên vn 1 Ịn sjn 1 n 2yJn 1 - 2jn vế trái của BĐT 1 đã được chứng minh viết tắt đcm 2 l n sỊn Vế phải của 1 chứng minh bằng cách tương tự. Trong dãy ta xét n từ 2 3 4 . đến n. Dùng BĐT 1 của bổ đề ta có 2 3 - 2 Í2 2V2 2V2 - 2 2 4 - 2 3 3 - 2V2 5 - Wĩ 2 4 - 2 3 Cộng vế đối vế các BĐT trên ta được 3 2yỊ n 1 - 2V2 j j j j . ijn - 2 Để xuất hiện BĐT ta thêm 1 vào tất cả các vế của BĐT vừa nhận được trên đây 2 Jn 1 - 2 Ỉ2 1 1 Ị j Ị . . . J 2y n - 2 1 2 Vì 2yÍ2