tailieunhanh - Ebook Toán học và những suy luận có lý: Phần 2

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn sách "Toán học và những suy luận có lý - Quy nạp và tương tự trong toán học", phần 2 trình bày các nội dung: Quy nạp toán học, cự đại và cực tiểu, toán học vật lí, bài toán đẳng chu, các dạng khác của lý lẽ có lý. nội dung chi tiết. | hương- VII_________ QUY NẠP TOÁN HỌC 1. Giai đoạn quy nạp Ta lại bắt đầu bằng một thí dụ. Tìm tổng của n số nguyên đầu tiên thì hoàn toàn không khó. Ta sẽ coi như đã biết công thức n n l 1 2 3 . n v 7 2 mà người ta có thể tìm và chứng mình bằng nhiều cách. Tìm công thức tính tổng của n bình phương đầu tiên 1 4 9 16 . rĩ . thì khó hơn. Tính tổng này khi n nhỏ không khó nhưng phát hiện ra quy tắc thì không dễ. Tuy vậy hãy cổ phát hiện ra một tính chất song trùng nào đó giữa hai tổng sau đây và xết chúng đổng thời n 1 2 3 4 5 6. 1 2 . 4- fỉ ỉ 3 6 10 15 2L. 2 2 1 2 . n 1 5 14 30 55 91. Hai dòng cuối quan hệ với nhau ra sao Ta thử nghiên cứu tỉ số của chúng n 1 2 3 4 5 6. l2 22 . r 1 5 7 3 H 13 1 2 . 4- n 3 3 3 3 Ở đây quy tắc đã hiển nhiên và nếu ta viết các tỉ số dòng thứ hai như sau 3 5 2 9 U 13 3 3 3 3 3 3 thì quy tắc đó hầu như đã quá rõ. Chẳng lẽ chúng ta có thể dừng ở đó và không phát biểu giả thuyết rằng l2 22 . rĩ _ 2n 1 1 2 . n 3 127 Sử dụng giá trị của mẫu số ở vế trái mà ta coi như đã biết ta có thể phát biểu giả thuyết trên dưới dạng l2 22 32 . H2 w w 1 2w 1- -. 6 Giả thuyết đó có đúng khồng Nghĩa là nó có luôn luồn đúng không Rõ ràng cồng thức đúng trong các trường hợp riêng n 1 2 3 4 5 6. Nó có còn đúng khi n 7 khồng Giả thuyết đưa ta đến dự đoán rằng 1 4 9 16 25 36 49 6 và quả thực là cả hai vế đều bằng 140 Cố nhiên ta có thể chuyển sang trường hợp n - 8 và thử lại nhưng trường hợp này cũng không hấp dản ta lắm nữa. Bằng cách này hay cách khác ta đã có khuynh hướng tin rằng công thức vẫn đúng cả trong trường hợp sau và như vậy sự xác nhận đó làm tăng niềm tin của ta nhưng tăng ít ít đến mức ta cho rằng bỏ thời giờ để tính toán chưa chắc đã bõ công. Làm thế nào để có thể kiểm nghiêm giả thuyết của ta một cách có hiệu quả hơn Nếu giả thuyết đúng với mọi ỉĩ thì có lẽ nó phải khồng phụ thuộc vào sự biến đổi của các trường hợp nó phải được bảo tồn khi chuyển từ trường hợp này sang trường hợp khác. Giả sử 1 . 1 . . 2 rt rt l 2rt l l 4 . rt -- 6 Nhưng nếu