tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 14 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 14 giới thiệu về phép tịnh tiến và phân thức đơn giản. Trong bài này chúng ta sẽ tìm hiểu 2 nội dung chính, đó là: Quy tắc phân thức đơn giản, sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 14 3. Phép tịnh tiến và phân thức đơn giản Quy tắc phân thức đơn giản Sự cộng hưởng và nhân tử tích lặp bậc hai 1. Mở đầu. Phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng có nghiệm là biến đổi Laplace nghịch P s đảo của hàm hữu tỉ R s --7-7 Q s Cần đưa ra kĩ thuật cho phép tính L1 R s được thuận lợi. 2. quy tắc phân thức đơn giản a Quy tắc 1. Phân thức đơn giản tuyến tính Nếu Q s có s - a n thì R s có các số hạng sau A A2 o . An n Aị e R i 1 n s - a s - a 2 s - a n i b Quy tắc 2. Phân thức đơn giản bậc hai x2 .2 n Nếu Q s có s - a b2 thì R s có dạng Ạs B Ạs B2 2 . s - a 2 b2 T V Bn s - a 2 b21 s - a 2 b2 ở đó Ai Bị E R i 1 n Định lí 1. Biến đổi trên trục s Nếu F s L f t tồn tại với s c thì tồn tại L eatf t với s a c và có L eatf t F s - a . Hay tương đương với L1 F s - a eatf t Chứng minh. Ta có ro ro F s - a J e s-a tf t dt J e st _eatf t dt L eatf t s - a c Từ kết quả này và từ bảng có f t F t n eattn s - s a 2J eat cos kt s - a s a s - a k2 k eat sin kt 2 .2 s a s - a k2 thaonx-fami @ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ 1. Tìm phép biến đổi Laplace ngược của s 1 a R s 3 2 s3 - 2s2 - 8s s2 1 ABC R s s s 2 s - 4 s s 2 s - 4 s2 1 A s 2 s - 4 Bs s - 4 Cs s 2 . Thay s 0 s -2 và s 4 ta có __ ___ ___ _ . 1-5-17 -8A 1 12B 5 24C 17 A -4 B -5 C 17 8 12 24 115 1 17 1 R s .- -. . 8 s 12 s 2 24 s - 4 L 1 R s -1 -5 e 2t 17 e4. 8 12 24 s2 2s . 1 z X b F s -11 - f t 2cos t - sin t - 2cos2t 2 sin 2t s4 5s2 4 3 s2 - 2s c F s - - f t -2cos t - sin t 2cos Ht 5 2 sinyfet s4 3s2 2 Ví dụ 2. Giải bài toán giá trị ban đầu y 4y 4y t2 y 0 0 0. 2 2 Tác động phép biến đổi Laplace ta có sY s 4sY s 4Y s - -. s 3 2 _ A B c D E Y s Z- s3 s 2 2 s3 s2 s s 2 2 s 2 113 1 3 Đồng nhất các hệ số ta có Y s - - Ặ 8 - - 7 s3 s2 s s 2 2 s 2 y t 112 -11 3 - Ị te-2 - 3 e-2t. 4 2 8 4 8 Ví dụ 3. Xét một hệ con lắc lò xo với m 1 k 17 c 3 đơn vị mét kilôgam giây . x t là khoảng dịch .