tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 12 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 12 của bài giảng phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi trình bày về phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược. Trong bài này sẽ có các nội dung chính sau đây: Phép biến đổi Laplace, tính chất của phép biến đổi Laplace, phép biến đổi Laplace ngược. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami @ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 12 CHƯƠNG 3. PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ LAPLACE 1. Phép biến đổi Laplace và phép biến đổi ngược Phép biến đổi Laplace Tính chất của phép biến đổi Laplace Phép biến đổi Laplace ngược 1. Đặt vấn đề Thường gặp trong thực tế các phương trình vi phân mx cx kx F t LI Rỉ 11 E t C tương ứng với hệ thống giảm sóc và chuỗi mạch RLC F t và E t nói chung là gián đoạn khi đó phương pháp như đã biết khá bất tiện. Có hay không phương pháp tiện lợi hơn Phép biến đổi Laplace L f t s F s biến phương trình vi phân với ẩn hàm f t thành một phương trình đại số với ẩn hàm F s - có lời giải được tìm ra dễ hơn nhiều. Chẳng hạn như đối với phương trình vi phân cấp cao y n a1y n-1 an-ỵy a y f x -với điều kiện ban đầu nhận được công thức nghiệm tường minh biểu diễn qua tích chập Laplace. Giải một lớp phương trình vi phân cấp cao với hệ số hàm số điều này không thể làm được với các phương pháp đã biết chẳng hạn xy - 4 x 1 y 2 2x 1 y 0 Giải hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao yn Yay f1 x . n ynn Y ankYk fn x k n Giải một lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp cao với hệ số hàm số. 2. Phép biến đổi Laplace Định nghĩa F s L f t s Je stf t dt ở đó s f t e R Nhận xét. Phép biến đổi Laplace xác định với s f t e c. Nhưng trong chương này ta chỉ cần sử dụng s f t e R Ví dụ 1. Tính L 1 s rc J e stdt 0 .-st lim b 1 e-bs s 1 TC - e s 0 1 - s 1 s 0 s Không tồn tại L 1 s khi s 0. thaonx-fami @ PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Ví dụ 2. f t eat t 0. Tính L eat a6 R. L eat s ro ro _ s a t A íe steatdt íe s a tdt lim - _ y y b ro y s a 7 0 0 b 0 lim 1 _ l e s a b b xro s a 1 nêu s a s a Phân kì khi s a Ví dụ 3. Cho f t ta a 1. Tính L f t và L tn ne N L ta s roe sttadt. 0 Đặt u st t u dt có L ta - - íe uuadu r a 1 s 0 s s sa 1 0 sa 1 L tn n i s 0 s 3. Tính chất của phép biến đổi Laplace Định lý 1. Tính tuyến tính của phép biến đổi Laplace Cho a Ị là hằng số và 3 L f t s và L g t s khi đó L af t Ịg t