tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 6 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Trong bài giảng bài 6, các bạn sẽ tìm hiểu một số nội dung sau đây: Khai triển hàm chẵn, lẻ của chuỗi Fourier; phương trình vi phân; ứng dụng của phương trình vi phân; phương trình vi phân cấp một;. để nắm bắt các nội dung chi tiết. | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ BÀI 6 6 Chuỗi Fourier TT Khai triển hàm chẵn lẻ Khai triển hàm tuàn hoàn chu kì bất kì 3. Khai triển hàm chẵn lẻ . Nếu f x là hàm số chẵn f x coskx là hàm chẵn f x sin kx là hàm lẻ ak If x cos kxdx bk 0 V k e N n 0 n - x 0 x n n x chuỗi Fourier. f -x f x bk 0 V k e N 2 a0 I f x dx 7Ĩ ỉ 0 2 22 n 2n ak íf x cos kxdx í n - x cos kxdx sin kx0 - I n J n k n ị 00 0 Ví dụ 1. f x tuần hoàn với chu kì 2n khai triển hàm f x thành -n x 0 2 r X . 2 n - x dx --n n 0 n - nx n k n 2 0 sin kx k k 2 X n x2 2 7T x sin kx 71 n r. sin kx 1 CIY 2 - cos kx k 0 x 00 k 71 k 2 1 - cos kn 1 - -1 k 0 nk2 nk2 f x n V 2r 1 - -1 k coskx n V - 4 -ycos 2n 1 x 2 k 1nk2 2 n 0 n 2n 1 2 Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số cosin của các hàm số sau a f x 1 - x 0 x n c f x x n - x 0 x n . n . n cos 2n - 1 x 1 - 2 -4 V 2S 1 1 1V 2 1 cos -n 1 x cos -n 3 x ----------- ----------- -n 1 -n 3 0 x n b f x 1 0 n2 cos 2nx 6 - V n 1 n2 2 n _ x n 2 . Nếu hàm f x là hàm số lẻ f x coskx là hàm số lẻ còn f x sin kx là hàm chẵn . 2n ak 0 bk sin kxdx Vk e N n 0 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ Ví dụ 3. Cho hàm số f x x -n x n tuần hoàn với chu kì 2n khai triển hàm f x thành chuỗi Fourier Hàm f x lẻ ak 0 V k e 2 bk I f x sin kx dx n 0 2 n _ 2 í - cos kx x sin kxdx ịxd 5 nJ xỉ V k J 00 2 n x cos kx k n cos kx dx 0 00 k n cos kn ---- k sin kx 2 -1 k 1 k n 2 n k 2 n 0 f x X -1 k 1 -2 sin kx k 1 k Ví dụ 4. Khai triển thành chuỗi Fourier theo các hàm số sin của các hàm số sau a f x n-x 0 x n c f x x n - x 0 x n ỹ sin nx í n n 1 X sin2 T sin nx n n 1 n 4 1 b f x 0 0 x n 2 n 5 x n 2 8 sin 2n - 1 x n X 2n -1 3 Nếu f x tuần hoàn với chu kì 2l đơn điệu từng khúc và bị chặn trên đoạn n l -l l . Đôi biên x Y x f x f --x F x tuần hoàn với chu kì 2n l V n Sử dụng khai triển Fourier cho hàm này có f x a0 í n __n 50 X an cosn -x bn cos n -x 2 l l J an 11f x cosn dx Vne N -l bn 1 If x sin n dx Vn e N Ví dụ 5. Khai triển hàm tuần hoàn