tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 5 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 5 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi tiếp tục trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa và chuỗi FOURIER . Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu về khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản, tìm hiểu về chuỗi lượng giác, chuỗi Fourier; điều kiện để hàm số khai triển được thành chuỗi Fourier;. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 5 5. Chuỗi luỹ thừa TT Khai triển một số hàm sơ cấp Ứng dụng 4. Khai triển một số hàm số sơ cấp cơ bản . Một số khai triển 1 f x ex f n 0 1 f n x ex eA M Vxe -A A A 0 xn xn ex - Vxe A A A 0 ex - Vxe R n 0n n 00n 2 f x cos x f n 0 cos n n 1 2 10 n 2k n 2k 1 f n x ____ K cos x n V 2 7 1 V x e R cos x 1 2 . 4 2n x x n x ---- 1 2 4 v 2n x eR 3 f x sin x sin x x x3 X5 1 ĩr - 1 n 1 3 5 v y2n 1 x 2n 1 xE R 4 f x 1 x a ae R f x 1 a x aa-Ị x2 . -i - -n 1 xn . 1 x 1 1 2 n 5 f x ln 1 x x2 x3 ln 1 x x x x xn . 1 n 1 r. . n 1 x 1 6 f x arctan x x3 x5 H x2n 1 arctanx x - 4 --- 1 n 14 - xeR 1 x 1 3 5 2n 1 Ví dụ 1. Khai triển thành chuỗi Maclaurin a f x ax 0 a 1 ax ex ln a ơx ln a e s n 0 lnna n xn x eR b f x ln 2 x x I x ì . I x ln 2 x ln2 1 ln2 ln 1 x 1 1 V 2 7 V 2 7 2 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami @ .í x ln 1 9 . 2 7 rc V -1 n-1 n 1 n TC .n -l -1 J2. ln 2 x ln2 V -1 -2 x 2 n. 2n n 1 n-2 ọ2n-1 y2n c sin2 x 1 - V -4 xe R 2 n 0 2n l 1 1 x x2n 1 d f x lnĩ-x 2V 2 1 1 x 1 n 0 e f x Vdt f -1 x xeR n 2n 1 0 n 0 rc n rc 2n f f x ln 1 x x2 x3 V -1 n-1 V -1 n-1 -1 x 1 nn n 1 n 1 g f x ex sin x V xVã n V0 n . nn sin xe 4 M h f x cosh x 2n s 2n x eK x sin t i f x Ị dt 0 ư2n 1 V _ 1 n------x ----------. 2n 1 2n 1 n 0 x eR k f x XỊ dt U r x5 . 2n-1 4n 1 T- -- --- x n 2n 4n 1 x 1 l Viết rõ các hệ số đến x6 f x ex sin x m Viết rõ các hệ số đến x6 f x ex cos x Ví dụ 2. Khai triển thành chuỗi Taylor tại lân cận điểm tương ứng a f x ln x x 1 ln x ln 1 x -1 n x -1 ln 1 x-1 V -1 n n 1 b f x .- x 4 f x 1 x 1 x 2 f n x -1 n n 1 x 1 n 1 1 _An 1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami @ f n 4 -1 nn 5 n 1 - 6-n-1 f x Y -1 n 5 - 6- n-1 x - 4 n n 0 c f x ựi theo chuỗi luỹ thừa của ị - f x x 4 1 x 1 í-x I 211 x x f k 1 x . 2n-3 x V . 2n - 2 k 1 x . x d f x cos- theo chuôi luỹ thừa của x n k 2J T x - ễ _ x - ị x - n n-1 1 2 2 22 n - 1 2n-1 e f