tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 4 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa. Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa về chuỗi lũy thừa, các tính chất của chuỗi lũy thừa và cách khai triển thành chuỗi luỹ thừa. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 4 5 Chuỗi luỹ thừa Định nghĩa Các tính chất Đặt vấn đề 1. Định nghĩa. a0 a1x a2 x2 anxn TO Ký hiệu là anxn ở đó an là các số thực x là biến số. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa 1 Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ phân kỳ tại x0 chuỗi số n anxỊỊ hội tụ phân kỳ n 0 TOTO chuỗi anxn hội tụ trên khoảng a b chuỗi số anxỊỊ hội tụ x0 tuỳ ý e a b . n 0 n 0 TO Ví dụ 1. xn 1 x x2 n 0 TO1 Đã biết hội tụ khi ix 1 có xn 1 - x n 0 Phân kỳ khi ix 1 TO Định lí 1 Abel . anxn hội tụ tại x0 0 hội tụ tuyệt đối tại x ix x0 TO Chứng minh. n 1 anxỊỊ hội tụ lim anxỊỊ 0 anxỊỊ anxS anx0 í x ì n M x x0 x0 1 M n 1 x x0 n TO n M V n N0 x x0 nTO hội tụ Định lí so sánh 1 anxn hội tụ tuyệt đối TOn Nhận xét. Từ định lí Abel suy ra Nếu anxn phân kỳ tại x0 phân kỳ tại x ix x0 Định lý 2. Nếu lim lan 1 n TO . . p hoặc lim MaJ p thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ an n . v 1 TO thừa anxn được xác định bởi R 1 p 0 TO. 0 p TO p to p 0 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ Nhận xét. Quy ước viết R 0 ở khẳng định 2 R ở khẳng định 3 từ đó có thể phát biểu gọn định lý này như sau Mọi chuỗi luỹ thừa ỉ anxn đều có một bán kính hội tụ R với 0 R khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với IX R và phân kỳ với IX R Cách tìm bán kính hội tụ R R lim -O- n an 1 xn Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi V-2-n n an 1 1 f n 1 ì an 1 n2 n 1 2 l n 1 2 lim n an an 1 R 1 chuỗi hội tụ với IX 1 phân kỳ với IX 1. X2 n 2 Khoảng hội tụ là -1 1 . Tại IX 1 có hoặc R lim n tf an 1 1 II. -2 mặt khác ỉ-2 hội tụ do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại IX 1. Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ỉ n 2 Xn n 03 an an 1 _ n 2 n 3 3 n 2 3n 3n 1 _ n 3 an an 1 lim n R 3 chuỗi hội tụ khi IX 3 phân kỳ khi IX 3. 3 Tại X 3 có ỉ anXn ỉ n 2 phân kỳ. n 0 n 0 Tại X -3 có ỉ anXn ỉ -1 n n 2 phân kỳ n 0 n 0 Khoảng hội tụ -3 3 . Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ỉ n 0 X n 1 an V 1 k an 1 n 1 . an ì lim n 1 n k an 1 1 n 2 n 2 n 1 PGS. TS. Nguyễn .