tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 4 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 4 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi trình bày những kiến thức về chuỗi luỹ thừa. Trong bài này chúng ta sẽ cùng tìm hiểu định nghĩa về chuỗi lũy thừa, các tính chất của chuỗi lũy thừa và cách khai triển thành chuỗi luỹ thừa. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 4 5 Chuỗi luỹ thừa Định nghĩa Các tính chất Đặt vấn đề 1. Định nghĩa. a0 a1x a2 x2 anxn TO Ký hiệu là anxn ở đó an là các số thực x là biến số. Khai triển thành chuỗi luỹ thừa 1 Ta bảo chuỗi luỹ thừa hội tụ phân kỳ tại x0 chuỗi số n anxỊỊ hội tụ phân kỳ n 0 TOTO chuỗi anxn hội tụ trên khoảng a b chuỗi số anxỊỊ hội tụ x0 tuỳ ý e a b . n 0 n 0 TO Ví dụ 1. xn 1 x x2 n 0 TO1 Đã biết hội tụ khi ix 1 có xn 1 - x n 0 Phân kỳ khi ix 1 TO Định lí 1 Abel . anxn hội tụ tại x0 0 hội tụ tuyệt đối tại x ix x0 TO Chứng minh. n 1 anxỊỊ hội tụ lim anxỊỊ 0 anxỊỊ anxS anx0 í x ì n M x x0 x0 1 M n 1 x x0 n TO n M V n N0 x x0 nTO hội tụ Định lí so sánh 1 anxn hội tụ tuyệt đối TOn Nhận xét. Từ định lí Abel suy ra Nếu anxn phân kỳ tại x0 phân kỳ tại x ix x0 Định lý 2. Nếu lim lan 1 n TO . . p hoặc lim MaJ p thì bán kính hội tụ R của chuỗi luỹ an n . v 1 TO thừa anxn được xác định bởi R 1 p 0 TO. 0 p TO p to p 0 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ Nhận xét. Quy ước viết R 0 ở khẳng định 2 R ở khẳng định 3 từ đó có thể phát biểu gọn định lý này như sau Mọi chuỗi luỹ thừa ỉ anxn đều có một bán kính hội tụ R với 0 R khi đó chuỗi hội tụ tuyệt đối với IX R và phân kỳ với IX R Cách tìm bán kính hội tụ R R lim -O- n an 1 xn Ví dụ 1. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi V-2-n n an 1 1 f n 1 ì an 1 n2 n 1 2 l n 1 2 lim n an an 1 R 1 chuỗi hội tụ với IX 1 phân kỳ với IX 1. X2 n 2 Khoảng hội tụ là -1 1 . Tại IX 1 có hoặc R lim n tf an 1 1 II. -2 mặt khác ỉ-2 hội tụ do đó chuỗi luỹ thừa hội tụ tại IX 1. Ví dụ 2. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ỉ n 2 Xn n 03 an an 1 _ n 2 n 3 3 n 2 3n 3n 1 _ n 3 an an 1 lim n R 3 chuỗi hội tụ khi IX 3 phân kỳ khi IX 3. 3 Tại X 3 có ỉ anXn ỉ n 2 phân kỳ. n 0 n 0 Tại X -3 có ỉ anXn ỉ -1 n n 2 phân kỳ n 0 n 0 Khoảng hội tụ -3 3 . Ví dụ 3. Tìm khoảng hội tụ của chuỗi luỹ thừa ỉ n 0 X n 1 an V 1 k an 1 n 1 . an ì lim n 1 n k an 1 1 n 2 n 2 n 1 PGS. TS. Nguyễn .

• Toán học
• Phương trình vi phân
• Lí thuyết chuỗi
• Chuỗi luỹ thừa
• Tính chất của chuỗi lũy thừa
• Khai triển thành chuỗi luỹ thừa
• Chuỗi luỹ thừa hội tụ
• Bài tập Phương trình vi phân
• Phương pháp giải Phương trình vi phân
• Phương trình vi phân toàn phần
• Phương trình Bernoulli
• Phương trình vi phân tuyến tính
• Phương trình vi phân đẳng cấp
• Phương trình phân li
• câu hỏi phương trình vi phân
• đề thi phương trình vi phân
• tham khảo phương trình vi phân
• tài liệu phương trình vi phân
• Bài giảng Phương trình vi phân
• Phương trình vi phân cấp một
• Phương trình vi phân cấp cao
• Hệ phương trình vi phân
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp
• Bài tập vi phân
• Ôn tập Phương trình vi phân
• Đề cương Phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân
• Phương trình đạo hàm riêng
• Nguyên lý cộng nghiệm
• tìm hiểu phương trình vi phân
• phân tích phương trình vi phân
• Hệ phương trình vi phân tuyến tính
• Bài tập phương trình vi phân tuyến tính
• Ôn tập phương trình vi phân tuyến tính
• Tiểu luận phương pháp Toán Lý
• phương trình vi phân cấp 1
• phương trình vi phân đẳng cấp 1
• phương trình vi phân tuyến tính 1
• ứng dụng của phương trình vi phân
• phương trình vi phân cấp 2
• tài liệu toán
• phương trình vi phân thuần nhất
• phương trình vi phân cấp
• giáo án phương trình vi phân
• Lý thuyết phương trình vi phân
• Sự tồn tại
• Duy nhất nghiệm
• Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai
• Phương trình vi phân tuyến
• Giải gần đúng phương trình vi phân
• Bài giảng Giải phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân cấp 1
• Giải hệ phương trình vi phân
• Giải phương trình vi phân cấp cao
• Công thức Euler