tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 2 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài 2 của bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi tìm hiểu về chuỗi số với số hạng có dấu bất kì. Các nội dung chính trong bài giảng này gồm có: Chuỗi với số hạng có dấu bất kì, tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối, chuỗi đan dấu. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ HAPPY NEW YEAR 2011 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 2 3. Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi với số hạng có dấu bất kì Tính chất của chuỗi hội tụ tuyệt đối Chuỗi đan dấu 1. Đặt vấn đề. 2. Chuỗi với số hạng có dấu bất kì ro ro ro Định nghĩa yan được gọi là hội tụ tuyệt đối y an hội tụ. Chuỗi yan được gọi n 1 n 1 n 1 ro ro là bán hội tụ y an phân kì và yan hội tụ. roro Định lý. y an hội tụ y an hội tụ. Ví dụ 1. Xét sự hội tụ tuyệt đối của chuỗi số sau _2 . _ ro n2 n a y -1 2 -2n ro b y sin n2 n 1 n c ysinU 2 V3 HTTĐ ro d y n 1 sinn HTTĐ Hướng dẫn. _ro n2 n a -1 n 2n ro Xét y n 1 n 2n lim an l 1 1 n ro an 2 ro y 2n hội tụ n 1 2 2 ro n n y -i 2 n hội tụ . 2 b y sin n2 n 1 sin n2 e R Không có lim sin n2 0 Thật vậy phản chứng có lim sin n2 0 lim sin 2n 1 0 lim sin 2n 3 0 n ro n ro lim cos 2n 1 0 lim sin2 2n 1 cos2 2n 1 0 vô lí n - ro ro y sin n2 phân kì. n 1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami@ Nhận xét. ro ro 1 Nếu g an phân kì theo tiêu chuẩn D Alembert hoặc Cauchy gan phân kì ro ro 2 g an phân kì gan phân kì đúng hay sai 3. Chuỗi đan dấu ro Định nghĩa. g -1 n-1 an an 0 được gọi là chuỗi đan dấu ro Chú ý. g -1 n an an 0 cũng được gọi là chuỗi đan dấu. Định lí Leibnitz roro Dãy an giảm an 0 lim an 0 g -1 n 1 an hội tụ và có g -1 n 1 an a1 n ro n 1 n 1 Chứng minh n 2m Có S2m a1 - a2 a3 - a4 a2m-1 - a2m S2m tăng S2m a1 - a2 - a3 - a4 - a5 - a2m-2 - a2m-1 - a2m a1 Từ đó 3 lim S2m S và có S a1 m ro n 2m 1 S2m 1 S2m a2m 1 Do lim a2m 1 0 lim S2m 1 S. m ro m ro Định lí được chứng minh. Ví dụ 2. Xét sự hội tụ tuyệt đối và bán hội tụ của các chuỗi số sau ro n-1 a g -n-1 Bán HT n 1 b jH-1 Bán HT n 1 n c HTTĐ n 1 2n -1 3 ro n - 1 d g -61n-5n PK e ỹ -1 n-13-5-7- 2n 1 HTTĐ 3n -1 n 1 f g -1 n-11-4-7- 3n-2 PK n 1 2n 5 g . 1 n 1tan HTTĐ n 1 n 2 h g -1 n 12 PK n 1 n PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo thaonx-fami @ _ro PK n 0 PK n 1 ro k Ệ -1 n l X -1 n-1ln2 2 1 HTTĐ n 1 n Hướng