tailieunhanh - Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi: Bài 1 - PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo

Bài giảng Phương trình vi phân và lí thuyết chuỗi - Bài 1 trình bày về lý thuyết chuỗi. Trong bài 1 này các bạn sẽ tập trung tìm hiểu về chuỗi số với những nội dung cơ bản như: Đại cương về chuỗi số, chuỗi số dương. . | PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email thaonx-fami@ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN VÀ LÍ THUYẾT CHUỖI BÀI 1. CHƯƠNG I. LÝ THUYẾT CHUỖI 1. Đại cương về chuỗi số Định nghĩa Các tính chất cơ bản Điều kiện cần để chuỗi hội tụ 111 1. Đăt vân đề 1 - 2 ---- 2 4 8 2n Có phải là cứ cộng mãi các số hạng của vế trái thì thành vế phải 1 - 1 1 - 1 . 1. Chuỗi số Đinh nghĩa Với mỗi số tự nhiên n cho tương ứng với một số thực an ta có dãy số kí hiệu là an . Đinh nghĩa Cho dãy số an ta gọi tổng vô hạn a1 a2 a3 là chuỗi số ký hiệu là tan an là số hạng tổng quát. Sn a1 a2 a3 . an là tổng riêng thứ n. Nếu lim Sn S thì ta bảo chuỗi hội tụ n có tổng S và viết tan S. n 1 Khi dãy Sn phân kỳ thì ta bảo chuỗi tan phân kỳ. tt Ví dụ 1. Xét sự hội tụ và tính t qn n 1 Sn 1 q q2 qn - q q 1 1 - q 1 lim Sn -L- q 1 n 1 q Phân kỳ khi q 1 1 tt tq W q 1 n 0 1 q Ví dụ 2. Xét sự hội tụ và tính 11 Sn n tt Sn n 1 1 1 ì n n 1 Ụ 2 1 1 1 1 ì V 2 3 1 1 V n n 1 1 1 n 1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email thaonx-fami@ L 1 ì im Sn lim 1 - 7-n ro n ro 1 n 1 1 1 tt V .X 1 n 1n n 1 1 11 1 Ví dụ 3. Xét sự hội tụ phân kỳ V Chuỗi điều hoà Sn 1 -7 -7 n n 2 3 n n 1 Lấy n 2m 1 có . 1 1 1 . 1ì 1 1 ì 1 1ì . 1 1 ì S 1 1 n 2 3 2m 1 l 2 13 4 15 8 12m 1 2m 1 1 2-4 4-4 2m ị m 1 1 2 4 8 2m 1 2 Do đó Sn có thể lớn bao nhiêu tuỳ ý nên có lim Sn n ro Chuỗi đã cho phân kỳ 1 Ví dụ 4. Chuỗi nghịch đảo bình phương V 2 n 1n Sn 1 22 1. 1 5- -1- 1 32 n2 2-2 3-3 1 1 1 1 - n-n 1-2 2-3 1 1 1 1 ì 1 1 ì 1 1 ì 1 1 ì 2 - - 2 n 11 2 12 3 n -1 n 13 4 Sn tăng và dương 3 lim Sn S n tt tị S n 1n Nhận xét tt V an hội tụ thì lim an 0 n - n 1 Điều kiện cần để chuỗi hội tụ Chứng minh Có an Sn - Sn-1 lim an lim Sn - Sn-1 0 n n tt Nếu lim an 0 hoặc không tồn tại thì chuỗi V an phân kỳ. n -ro n 1 Thay đổi một số hữu hạn số hạng đầu không làm thay đổi tính hội tụ hay phân kỳ của chuỗi. Ví dụ 5. V- Tin 1 n 1 n lim 1 0 n ro n 1 PGS. TS. Nguyễn Xuân Thảo Email thaonx-fami@ rc En phân kỳ . n 1 n 1 Ví dụ 6. -1 n 1 -1 1 -1 -n 1