tailieunhanh - Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 18 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Trong bài 18 sẽ trình bày về không gian vectơ Euclide với những nội dung cơ bản như: Các khái niệm cơ bản; hệ trực giao, hệ trực chuẩn, cơ sở trực giao, cơ sở trực chuẩn; hình chiếu trực giao và đường trực giao,. . | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 18. Không gian vectơ Euclide PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1 Các khái niệm cơ bản Tích vô hướng và không gian vectơ Euclide Định nghĩa. Cho V là không gian vectơ trên R. Một tích vô hướng trên V là một ánh xạ V X V R a h a fy thỏa các điều kiện sau với mọi a a1 a2 E V 0 c V với mọi a E R i a1 a2 h a1V a2 h ii aa 0 a a 0 iii a h t à iv a a 0 a a 0 khi và chỉ khi a 0. Chú ý rằng do tính chất i ii . Khi cố định vectơ 0 c V tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ nhất. Do tính chất đối xứng giao hoán iii ta dễ dàng suy ra khi cố định a G V thì tích vô hướng là một ánh xạ tuyến tính đối với biến thứ 2 tức là a 0 01 02 G V a E R ta có i a 01 2 a 01 a A ii a a0 a a 0 Định nghĩa Không gian vectơ trên R trong đó có thêm một tích vô hướng được gọi là không gian vectơ Euclide. Chú ý Từ tính chất tuyến tính của tích vô hướng theo từng biến tính chất i ii i ii ta dễ dàng có các công thức sau 0 a a 0 0 với mọi a G V. 1 Giả sử a aiai ft bjftj thì i 1 j 1 a J 02 X bj Jj ai bj ỵ a fij i 1 j 1 i 1 j 1 Các ví dụ 1. Cho V Rn Va x1 . xn fi y1 . yn E V ta định nghĩa a ft X1y1 ----- Xnyn o xiVi i 1 Đây là một tích vô hướng trên Rn và Rn là một không gian vectơ Euclide. 2. Cho V C a b là không gian vectơ các hàm số thực liên tục trên a b . Với mọi f x g x thuộc C a b ta định nghĩa f x g x Ị f x g x dx Đây là một tích vô hướng trên C a b và C a b là một không gian vectơ Euclide. Độ dài và góc 1. Định nghĩa. Cho E là không gian vectơ Euclide. Với mỗi vectơ a E E độ dài của vectơ a ký hiệu là a là số thực không âm xác định như sau llxll ự x x 2. Các ví dụ a E Rn x x1 . xn E Rn thì x ỵ x2 x2 b E C a b f x E C a b thì f x Ị f x 2dx 3. Một vài tính chất cơ bản Trong không gian vectơ Euclide E ta có aH 0 a 0 và a E R aa a . a Bất đẳng thức Bunhiacốpxki Va ft E E a fi a II Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi các vectơ a ft phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh Nếu ft 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu ft 0 thì tam