tailieunhanh - Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 16 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Bài giảng bài 16 sẽ cung cấp cho người học những nội dung về vectơ riêng - giá trị riêng của ma trận; chéo hóa ma trận; vectơ riêng, giá trị riêng của phép biến đổi tuyến tính. | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 16. Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận và của phép biến đổi tuyến tính - Chéo hóa PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Vectơ riêng - Giá trị riêng của ma trận Các khái niệm cơ bản Cho A là ma trận vuông cấp n A G Mn R 11 12 . 1n 21 22 2n . . . . n1 n2 nn Khi đó Đa thức bậc n của biến A 11 A 12 1n Pa A det A AI 21 . . . 22 A . . . 2n . . . n1 n2 nn A 1 nAn n-1An 1 1A1 0 gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. Các nghiệm thực của đa thức đa thức đặc trưng Pa A gọi là giá trị riêng của ma trận A. Nếu A0 là một giá trị riêng của A thì det A A0I 0. Do đó hệ phương trình thuần nhất A A0I x1 . . . Xn 0 . . . 0 1 1 có vô số nghiệm. Không gian nghiệm của hệ 1 gọi là không gian con riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng Ao. Các vectơ khác không là nghiệm của hệ 1 gọi là các vectơ riêng của ma trận A ứng với giá trị riêng Ao. Các vectơ tạo thành một cơ sở của không gian riêng tức là các vectơ tạo thành hệ nghiệm cơ bản của hệ 1 gọi là các vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng Ao. Ví dụ Tìm đa thức đặc trưng vectơ riêng giá trị riêng của ma trận A 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Giải -A 1 1 Ta có PaA 1 -A 1 -A3 3A 2 1 1 -A Vậy đa thức đặc trưng của ma trận A là Pa A A3 3A 2 Pa A 0 A3 3A 2 0 o A 1 2 2 - A 0 o A -1 kép A 2. Vậy ma trận A có 2 giá trị riêng là A -1 A 2. Để tìm vectơ riêng của A ta xét hai trường hợp Ứng với giá trị riêng A -1. Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng A -1 ta giải hệ 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 Hệ có vô số nghiệm phụ thuộc hai tham số x2 x3. Nghiệm tổng quát của hệ là x1 - a - b x2 a x3 b. Do đó không gian con riêng của A ứng với giá trị riêng A -1 là V_1 -a - b a b a b E R . Các vectơ riêng của A ứng với giá trị riêng A -1 là tất cả các vectơ có dạng -a - b a b với a2 b2 0 vì vectơ riêng phải khác không . Ta có dim V_1 2 và A có 2 vectơ riêng độc lập tuyến tính ứng với giá trị riêng A -1 là a1 -1 1 0 a2 -1 0 1 T Ứng với giá trị riêng A 2. Để tìm vectơ riêng ứng với giá trị riêng A