tailieunhanh - Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 14 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Cùng tiếp tục củng cố và nâng cao kiến thức đại số cơ bản qua những bài tập về không gian véctơ trong bài giảng. Hy vọng những hướng dẫn giải trong bài tập này sẽ giúp ích cho quá trình học tập của các bạn. | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 14. Bài tập về không gian véctơ tiếp theo PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 13. Cho A B là các KGVT con của KGVT V. Chứng minh rằng A u B là KGVT con của KGVT V khi và chỉ khi A c B hoặc B c A. Giải. Nếu A c B hoặc B c A thì A u B B hoặc A u B A nên A u B là KGVT con của V. Ngược lại giả sử A u B là KGVT con của V nhưng A c B và B c A. Khi đó tồn tại x G A x ị B và y G B y ị A. Ta chứng minh x y ị A u B. Thật vậy nếu z x y G A u B thì z G A hoặc z G B dođó y z x G A hoặc x z y G B. Điều này trái với cách chọn x y. Vậy x y ị A u B. Như vậy tồn tại x y G A u B nhưng x y ị A u B dođó A u B không là KGVT con của V . Mâu thuẫn chứng tỏ A c B hoặc B c A. 14. Cho V là KGVT A là KGVT con của V. Chứng minh tồn tại KGVT con B của V sao cho A B V và A n B 0 Giải. Giả sử a1 . ak là một cơ sở trong A khi đó a1 . ak là hệ véctơ độc lập tuyến tính trong V do đó ta có thể bổ sung thêm các véctơ để được hệ véctơ a1 . ak ak 1 . an là cơ sở của V. Đặt B ak 1 . an . Khi đó vì A a1 . ak nên A B a1 . ak ak 1 . an V. Mặt khác nếu x G A n B thì tồn tại các số ai bj G R sao cho x a1a1 . ak ak và x bk 1ak 1 . bnan do đó a1 a1 . akak bk 1ak 1 . bnan 0 vì hệ véctơ a1 . an ĐLTT nên ai 0 bj 0 do đó x 0. Vậy A n B 0 . 15. Trong R4 cho các véctơ u1 1 1 0 0 u2 1 1 1 1 u3 0 1 0 1 u4 1 2 1 2 và E u1 u2 u3 u4 . a. Tìm cơ sở số chiều của E. b. Tìm một điều kiện cần và đủ để véctơ x a1 a2 a3 a4 G E. c Cho v1 1 a3 a 1 v2 1 b b3 1 v3 ab 1 ab 0 1 . Tìm a b để v1 v2 v3 là cơ sở của E. 1 Ma trận bậc thang sau cùng bậc 3 và 3 dòng khác không ứng với các véctơ u1 u3 u2. Do đó dimE 3 và cơ sở của E là hệ ui u2 u3 và E u1 u2 u3 . b. x a1 a2 a3 a4 E E khi và chỉ khi phương trình véctơ x x1a1 x2a2 x3a3 nghiệm. Phương trình véctơ trên tương đương với hệ sau có 11 0 a1 11 0 a1 1 1 1 a2 0 0 1 ữ1 a2 0 1 0 a3 0 1 0 a3 01 1 a4 _ 01 1 a4 _ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 -1 1 0 0 -1 0 a1 1 1 0 a1 a3 0 1 0 a3 a1 a2 0 0 1 a1 a2 a4 0 0 1 a3 a4 a1 a3 a1 a2 a1 a2 a3 .