tailieunhanh - Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 12 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Bài này cung cấp cho người học các kiến thức về không gian vectơ con với một số nội dung cơ bản như: Định nghĩa không gian vectơ con, tiêu chuẩn của không gian vectơ con, số chiều của không gian con, không gian giao và không gian tổng,. . | ĐẠI SỐ CƠ BẢN ÔN THI THẠC SĨ TOÁN HỌC Bài 12. Không gian vectơ con PGS TS Mỵ Vinh Quang Ngày 28 tháng 2 năm 2006 1 Định nghĩa và các ví dụ Định nghĩa Cho V là không gian vectơ. Tập con U khác rỗng của V gọi là không gian vectơ con của V nếu các phép toán cộng và phép toán nhân vô hướng của V thu hẹp trên U là các phép toán trong U đồng thời U cùng với các phép toán đó làm thành một không gian vectơ. Từ định nghĩa không gian vectơ con ta dễ dàng có được kết quả dưới đây. Tiêu chuẩn của không gian vectơ con Tập con U khác rỗng của không gian vectơ V là không gian vectơ con của V khi và chỉ khi 1. Với mọi a h G U ta có a h c U 2. Với mọi a G U ta có a G U Như vậy việc kiểm tra tập con U của V có là không gian vectơ con hay không khá đơn giản ta chỉ việc kiểm tra xem U có các tính chất 1 và 2 hay không. Bạn đọc có thể vận dụng tiêu chuẩn trên để tự kiểm tra các ví dụ sau. Các ví dụ Ví dụ 1 Tập 0 chỉ gồm vectơ-không là không gian vectơ con của V. Tập V cũng là không gian vectơ con của V. Các không gian con 0 V gọi là các không gian vectơ con tầm thường của V. ví dụ 2 A x1 . xn x1 x2 xn 0 c Rn là không gian con của Rn. B x1 . xn x1 x2 xn 0 c Rn không là không gian con của Rn có thể dễ dàng kiểm tra B không có tính chất 2. 1 Ví dụ 3 Tập Rn x gồm đa thức không và các đa thức hệ số thực có bậc n là không gian con của R x . Tập các đa thức hệ số thực bậc n không là không gian con của R x vì cả 2 điều kiện 1 và 2 đều không được thỏa mãn. Ví dụ 4 Tập Tn R các ma trận tam giác trên cấp n là không gian con của không gian Mn R các ma trận vuông cấp n. Số chiều của không gian con Liên quan đến số chiều của không gian vectơ con ta có định lý sau Nếu U là không gian vectơ con của V thì dim U dim V và dim U dim V o U V. Chứng minh Giả sử a1 . am là cơ sở của U ft1 . ftn là cơ sở của V .Vì U c V nên hệ vectơ a biểu thị tuyến tính được qua hệ ft . Do đó theo bổ đề cơ bản ta có m n tức là dim U dim V. Nếu dim U dim V n thì a1 . an là hệ độc lập .