tailieunhanh - Bài giảng Đại số tuyến tính: Bài 2 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang

Trong bài này sẽ trình bày một số phương pháp tính các định thức cấp n như: Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác, phương pháp quy nạp, phương pháp biểu diễn định thức thành tổng các định thức, phương pháp biểu diễn định thức thành tích các định thức. . | ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS. TS Mỵ Vinh Quang Ngày 21 tháng 4 năm 2006 Bài 2 Các Phương Pháp Tính Định Thức Cấp n Định thức được định nghĩa khá phức tạp do đó khi tính các định thức cấp cao cấp lớn hơn 3 người ta hầu như không sử dụng định nghĩa định thức mà sử dụng các tính chất của định thức và thường dùng các phương pháp sau. 1 Phương pháp biến đổi định thức về dạng tam giác Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng cột của ma trận và các tính chất của định thức để biến đổi ma trận của định thức về dạng tam giác. Định thức sau cùng sẽ bằng tích của các phần tử thuộc đường chéo chính theo tính chất . Ví dụ Tính định thức cấp n n 2 sau đây 1 2 2 . 2 2 2 2 . 2 D 2 2 3 . 2 . . . 2 . 2 . . 2 . . n Bài giải Nhân dòng 2 với -1 rồi cộng vào dòng 3 4 . n . Ta có 1 2 2 . 2 1 2 2 . 2 2 2 2 . 2 1 0 -2 -2 . . -2 D 0 0 1 . 0 0 0 1 . 0 -2 n - 2 . 0 . 0 . . 0 . . n-2 . 0 . 0 . . 0 . . n-2 1 nhân dòng 1 với -2 cộng vào dòng 2 . 1 Ví dụ Tính định thức cấp n a b b . .b b a b . .b D b b a . .b . b . b . . b . . . . .a Bài giải Đầu tiên công các cột 2 3 . n vào cột 1 . Sau đó nhân dòng 1 với 1 cộng vào các dòng 2 3 . n . Ta có a n 1 b b b . b a n 1 b b b . b a n 1 b a b . b 0 a b 0 . 0 D a n 1 b b a . b 0 0 a b . 0 . . . . . a n 1 b b b . a . . . . . 0 0 0 . a b a n 1 b a b n 1 2 Phương pháp qui nạp Ắp dụng các tính chất của định thức biến đổi khai triển định thức theo dòng hoặc theo cột để biểu diễn định thức cần tính qua các định thức cấp bé hơn nhưng có cùng dạng. Từ đó ta sẽ nhận được công thức truy hồi. Sử dụng công thức truy hồi và tính trực tiếp các định thức cùng dạng cấp 1 cấp 2 . để suy ra định thức cần tính. Ví dụ Tính định thức 1 a1 b1 a1 b2 . . . a1bn D n a2b1 . 1 a2b2 . . . . a2bn . . . . anb1 anb2 . . . 1 anbn Bài giải Sử dụng tính chất tách định thức theo cột n ta có 1 a1b1 . a2b1 . . . a1bn-1 . a2bn-1 0 0 1 a1b1 . a2 b1 . . a1bn-1 . a2bn-1 a1bn a2bn D n . . . . . . . . . . an-1b1 . . 1 an-1bn-1 0