tailieunhanh - Giáo trình Hàm số biến số phức: Phần 2 - Trương Văn Thương

Phần 2 ebook "Hàm số biến số phức" do Trương Văn Thương biên soạn có kết cấu gồm nội dung chương 4, chương 5 của tài liệu. Nội dung phần này trình bày về lý thuyết tích phân, lý thuyết chuỗi và lý thuyết thặng dư. Phần cuối cuốn sách có phần hướng dẫn giải bài tập và kết quả nhằm giúp sinh viên có một số phương pháp giải bài toán và kiểm tra kết quả học tập của mình. | Chương 4 LÍ THUYẾT TÍCH PHÂN 81. TÍCH PHÂN CỦA HÀM số BIẾN số PHỨC Định nghĩa và các tính chất cơ bẩn. Định nghĩa. Cho 7 là đường cong Jordan trơn từng khúc với hai đau mút a b. Trẽn 7 cho hàm số f z . Chia 7 thành n phíìn bởi các điểm chia a ỵ b các điếm chia được cho theo chiều tăng cúa tham số trên mỗi cung ZkZk ĩ lấy điểm Ck bất kì k .n 1 . Lập tổng n Sn 52 ÍCfc 2A- l - zk 1 Sn gọi là tống tích phân. Nếu giới hạn cùa tổng tích phân trên tồn tại khi d max zv i -l fc n zk dần về 0 không phụ thuộc vào cách chia đường cong 7 và cách chọn a . thì giới hạn đó được gọi là tích phân cúa hàm f z dọc theo lường cong 7. Kí hiệu z dz lim V a zt i - zt 2 J Sự tồn tại cúa tích phân trên tương đương với sự tồn tại cùa tích phán ciìa hai hàm số biến số thực. Thật vậy đặt . z u x y w z y zk xk 4- W Azfc 2fc i - Zfc Axk iAyk k ifìk uk u k yk vk v - ĩlkỴ 71 Khi đó 1 có thể viết dirới dạng n sn wfc Arrfc iAj fc fc i n n sn - y ufcAĩfe - i ỷukAyk VkầXk 3 fc i fc i vế phẩi ẹúa 3 là tổng tích phân của các tích phân đường loại hai tương ứng. Sự tồn tại lirnSn. kéo theo sự tồn tại ciỉa các tổng tích d phân ở vế phái và ta có Ị f z dz udx vdy i Ị udy vdx. 4 7 7 7 Bây giờ nếu ta xcm đường cong 7 cho dưới dạng tham số thì hàm z được biểu diễn dưới dạng hàm số phức cda biến số thực w t f z tỴ ỉ t 5 với điều kiện thích hợp CAỈa hàm ta có 3 3 3 Ị w t dt Ị ị t dt i Ị ỉị t dt. 6 ŨL ÍJt Ci hoặc 3 Ị f z dz Ị ĩ z t z ịt dt. 7 7 ă trong đó z t 7 í với 7 a a và y 3 b. 72 Ví dụ. 1 Tính tích phân sau f đó 7 là đoạn thẳng nối z 0 7 và z 2 4- i. Áp dụng công thức 4 ta có y zdz y xdx 4- ydy 4- i Ị xdy ydx 7 7 7 Phương trình của 7 là y X 0 2 . Suy ra f f2 - . xdx y2 dx X 5 f 2 5 zdz xdx 4- -y 4- i x - -dx ịj xdx ị 2 Tính tích phân sau Ị với 7 là đường tròn tâm a bán kính 7 r. Phương trình tham số của 7 là 2 7 t a 4- reư t 0 2ttJ Ap dụng công thức 7 ta có f dz f 2 ireu 7. 2iri. J z - a Jữ reưdt Các tính chất cơ bẩn. 1 Giả sử 7 là đường cong 7 với hướng dương cho