tailieunhanh - Phương pháp chứng minh bài toán đồng quy, thẳng hàng

Mời các em tham khảo tài liệu "Phương pháp chứng minh bài toán đồng quy, thẳng hàng" để nắm được 4 phương pháp chứng minh quan hệ đồng quy, thẳng hàng cũng như biết cách ứng dụng kiến thức để giải toán. | Phương pháp chứng minh bài toán đông quy thẳng hàng Hạ Vũ Anh - THPT Chuyên Vĩnh Phúc Ngày 4 tháng 7 năm 2012 Để giải quyết bài toán chứng minh quan hệ đồng quy - thẳng hàng ta có các phương pháp cơ bản sau Phương pháp vectơ Phương pháp tọa độ Phương pháp biến hình và Phương pháp quỹ tích. Trong chuyên đề này chúng ta chỉ bàn đến Phương pháp vectơ Phương pháp biến hình và Phương pháp quỹ tích. 1 Phương pháp vectơ Ví dụ 1. Cho tứ giác lồi ABCD ngoại tiếp đường tròn O . Gọi M N theo thứ tự là trung điểm hai đường chéo AC BD. Chứng minh rằng M N o thẳng hàng. Lời giải 1. Chứng minh OM A où 0 Lời giải 2. Gọi s là giao điểm của AB CD gọi X Y theo thứ tự là tiếp điểm của ơ với AB CD. Qua o kẻ đường thẳng song song với XY cắt AB CD tại I J. Khi đó o là trung điểm IJ suy ra oứ - ĩẰ ỹổ và Oỉỳ - ĩlẾ ĨỈỴ Hơn nữa do YBOI YOBI YCOJ nên AIBO - A JOC - AOBC. Suy ra ỉ IB JC 10 JO IO2 JO2 7 Cz ư 1 Hình 1. Tương tự cũng có IA JD JO2 I02 Vậy ___ _____ ỉ k Tl kĩỀ Jẻ kJĨ IB JD Từ đó suy ra . OM kON. Điều phải chứng minh. Ví dụ 2. Cho tam giác ABC. Xét các điểm M G Bơ N G CA và p G AB sao cho tứ giác ẦPMN là một hình bình hành. Các đường thẳng BN và CP cắt nhau tại o. Chứng minh rằng đường thẳng OM luôn đi qua một điểm cố định. Với bài toán chứng minh một đường thẳng luôn đi qua một điểm cố định điều quan trọng trước tiên là cần dự đoán được điểm cố định đí đã. ở bài toán này bằng việc vẽ một vài trường trường hợp đặc biệt của điểm M ta dự đoán điểm cố định cần tìm là D đỉnh thứ tư của hình bình hành ABDC sau đó cần chứng minh o M D thẳng hàng. Lời giải. Hình 2 Đặt AỀ b Aỏ . Do B M c thẳng hàng theo thứ tự nên tồn tại n p 0 sao cho Aứ iì À p b với n p 1. Từ đó do tứ giác ANMP là hình bình hành nên AỈ p b Aỉ ỉ iì À. 2 A Do B o N thẳng hàng và ơ ơ p thẳng hàng nên Aỏ X b ny Ẻ z è pt b trong ãóx y l z t. Từ đó do hai vectơ b không cùng phương nên p l rì 1 p X 7----- và y -- . 1 np 1 np T-V nA P n M n l-p -4 ____________ Do đó AO ------- b H ---- c suy ra 1 np 1 np 1 np oứ 1 np AM Aỏ