tailieunhanh - Phần 7. Giải quyết mộ t số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhau

Đa phần các bài toán xét đến ở trên đều có điều kiện mà các biến liên hệ với nhau ko quá chặt Thường là điều kiện ở dạng a\ + aị +. + akn_x + akn = n . Tức là ta có thể tách ra theo từng biến để tìm bất đẳng thức phụ. Tuy nhiên với một số bài toán mà điều kiện thiết lập (Y m ối quan hệ “bền chặt” đại loại như I ^a thì việc tìm ra bất đẳng thức phụ tương đố | Phần 7. Gi ải quyết mộ t số bài toán mà điều kiện liên quan mật thiết đến nhau Đa phần các bài toán xét đến ở trên đều có điều kiện mà các biến liên hệ với nhau ko quá chặt Thường là điều kiện ở dạng a aị . akn x ca n n . Tức là ta có thể tách ra theo từng biến để tìm bất đẳng thức phụ. Tuy nhiên với một số bài toán mà điều kiện thiết lập Y m ối quan hệ bền chặt đại loại như I Aa thì việc tìm ra bất đẳng thức phụ tương đối V i 1 J khó khăn vì ta không thể đánh giá theo từng biến nữa. Và để áp dụng . T trong những bài toán như vậy chúng ta phải dùng đến một s ố tính chất của hàm số. Bài toán 25. Cho a b c là các s ố thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng A2 b c 1 c a 1 a b 1 Chứng minh. Áp dụng bất đẳng thức Holder ta có aAỊb c by c a Cs a b c a c A-- a b c 3 J V Do đó ta cần phải chứng minh b c 1 c a 1 a b 1 A ayỊb c b Ịt a b c 3 2ỵ a3 3Y a 3Ỵ b 6 4Ỵ ab 4Ỵ a 2Y cyc cyc A cyc A cyc cyc cyc A A Áp dụng bất đẳng thứ c AM-GM ta có z a V J V 1 b V 1 1 V 1 a 1 V 1 a 1 V 1 b - Y ab y- y ab 2Y-- Y b a b c 2 b 2 a cyc A cyc cyc A cyc Từ đó ta có cyc A 1 A cyc A A cyc A VT- VP Y b 2 a a 5 Y a 5 Y - -4Y ab -4Y a 6 cyc A cyc A A cyc A cyc cyc Ya3 Yab -4Ỵa 6 Y a3 - 4a 2 I cyc cyc cyc cyc V a J a b c 1 b c 3 1 Xét hàm s ô f x x - 4x 2 2 In x với x 0 ta có x fl x X-1 I 3x 3 -- I x x Nếu x 1 thì nếu x 1 A 1 do đó f x 0 A x 1 x x x Từ đó đễ dàng kiểm tra rằng f x f 1 0 Vx 0 Hay 3 1 x - 4x 2 -2ln x Vx 0 x Như vậy ta có í a3 -4a 1 2 I -27lna 0 a cyc V J cyc - Kênh học tập Online Page 1 Bài toán được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a b c 1. - Kênh học tập Online Page 2 Bài toán 26. Lê Hữu Điền Khuê THPT Quôc Học Thành phô Huế Cho a b c là các s ô thực dương thỏa mãn abc 1. Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 3a2 a -1 2 3b2 b -1 2 3c2 c -1 2 Chứng minh. Xét hai trường hợp sau Trường hợp 1. Nếu trong ba s ô a b c tồn tại ít nhất một s ô không lớn hơn . Giả sử s ô đó là a. Ta có a A 3a2 a -1 2 1. Khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Trường .