tailieunhanh - Phần 4. U.C .T và kỹ thuật phân tách các trường hợp

Ở các phần trên ta đã làm quen với một s ố bài toán khi đưa về dạng f( ) ai m X h(at) Q. g(at ')21kp(ai) 0 Thì có ngay điều phải chứng minh. Tuy nhiên không phải bao giờ nó cũng xuất hiện p(a ) 0. | Phần 4. U. C. T và kỹ thuật phân tách các trường hợp Ở các phần trên ta đã làm quen với một s ố bài toán khi đưa về dạng f m V h a a 21k a i X h t Q. g t p ai 0 Thì có ngay điều phải chứng minh. Tuy nhiên không phải bao giờ nó cũng xuất hiệnp a 0. Trong trường hợp p a 0 chỉ đúng với một miền nghiệm nào đó thì việc chứng minh sẽ phải đi qua một chiều hướng khác đó là xét thêm trường hợp biến a ngoài miền xác định đểp a 0. Thường thì bước này phức tạp và đ òi hỏi người làm phải có nh ng đánh giá mang sự tinh tế nhiều h n. Ch ng ta sẽ đến với một s bài toán tiêu biểu cho kỹ thuật này. Bài toán 12. Cho a b c là các s ố thực dương. Chứng minh rằng 2 7 2 2 o a b c 3 1 1 a 2 b c 2 b2 a c 2 c2 b a 5 Chứng minh. Không mất tính t ổng quát chuẩn hóa a b c 3. Qui bất đẳng thức về dạng a2 b2 c2 3 A a2 3 1 1 a2 3 - a 2 b2 3 - b 2 c2 3 - c 2 Ta sử dụng bất đẳng thức phụ sau 2 TO 7 cc 2a2 - 6a 9 5 5 ------ a A 8a - 21 a-1 2 0 2a - 6a 9 25 Không mất tính tổng quát giả sử a b c A a 1 c. Xét hai trường hợp sau _ 21 Trường hợp 1. c A 8a - 21 8b - 21 8c - 21 0 . 21 Trường hợp 2. max a b c 8 Khi đó ta có a 1 2 b 1 2 c 1 2 2a2 1 - a 2 2b2 1 - b 2 2c2 1 - c 2 Bài toán 11 USAMO 2003 Cho a b c là các s ố thực dương. Chứng minh rằng a2 1 49 X1 f a T - 2a2 - 6a 9 3 Y 50 5 1 3 1J Do f a đồng biến trên 0 3 nên điều này hiển nhiên đúng. Vậy bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ba biến bằng nhau. Bài toán 13. Vasile Cirtoaje - Algebraic Inequalities - Old and New Method Cho a b c d là các s ố thực dương thỏa mãn a b c d 2 Chứng minh rằng 1 11 1 16 T r T 3a2 1 3b2 1 3c2 1 3d2 1 7 Chứng minh. Ta can xác định hệ s ố để bất đẳng thức sau là đúng 1 4 m 2a -1 3a 1 7 Dễ dàng tìm ra bất đẳng thức phụ sau 1 52 - 48a 3 2a -1 2 12a -1 - Kênh học tập Online Page 1 3 a2 1 49 49 3a2 1 Tương tự với các biến c òn lại. Xét hai trường hợp sau đây Trường hợp 1. min a b c d -1 A 12a -1 12b -1 12c -1 12d -1 0 12 Trường hợp 2. 1 o j2 49 1 48 d A 1 3d 7 - - 12 48 1 3d2 49 Xét tương