tailieunhanh - Chương 4: Chéo hoá ma trận

Tham khảo tài liệu 'chương 4: chéo hoá ma trận', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | BÀI GIẢNG TÓM TẨT MÔN TOÁN C2 GV Trần Ngọc Hội - 2009 CHƯƠNG 4 CHÉO HÓA MA TRẬN 1. TRỊ RIÊNG VECTƠ RIÊNG CỦA MA TRẬN . Định nghĩa Cho ma trận A 6 Mn R và véctơ u xi x2 xn 6 Rn ta định nghĩa an a12 al Au a21 a22 a2n x1 x2 . xn nl an2 ann y a11X1 a12x2 . alnxn a21x1 a22x2 . a2nxn . anlX1 an2x2 . annxn Ta nói sô thực À là một trị riêng của ma trận A nếu tồn tại vectơ u xi x2 . xn 6 Rn 0 sao cho Au Àu. Khi đó vectơ u được gọi là vecta riêng của A ứng với trị riêng À. . Ví dụ 3 o 3 1 ChoA r 1 ta có A r 1 3 . Do đó À 3 là một trị riêng của A và u 1 0 là một vectơ riêng ứng với trị riêng À 3. 2 Ma trận không 0 6 Mn R chỉ có trị riêng À 0 và mọi u 6 Rn 0 đều là vectơ riêng của 0. 3 Ma trận đơn vị I 6 Mn R chỉ có trị riêng À 1 và mọi vectơ u 6 Rn 0 đều là vectơ riêng của I. . Nhận xét 1 Vectơ riêng phải là vectơ khác 0. 3 2 Nếu u là vectơ riêng của A thì trị riêng tương ứng với nó là duy nhất. 3 Nếu u và V là các vectơ riêng ứng với trị riêng À thì au V cũng là vectơ riêng ứng với trị riêng X a 6 R . . Không gian riêng Cho ma trận A 6 Mn R và X 6 R là một trị riêng của A. Đặt V X u x1 e F Au Xu nghĩa là V X gồm vectơ 0 và tất cả các vectơ riêng của A ứng với trị riêng Khi đó theo Nhận xét V X là một không gian con của Rn. Ta gọi V X là khổng gian riêng của A ứng với trị riêng X. . Định nghía Cho ma trận A 6 Mn R . Đa thức bậc n theo X định bởi all a12 aln pA À det A - ÀI a22 a22 a2n nn anna ann được gọi là đa thức đặc trưng của ma trận A. . Định lý Sô thực . là trị riêng của A 6 Mn R khi và chỉ khi . là nghiệm của đa thức đặc trung pa A - Nhận xét Không gian riêng V X của ma trận A ứng với trị riêng X chính là không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính thuần nhâ t 1 . Từ định lý trên ta suy ra thuật toán sau . Thuật toán tìm trị riêng vectơ riêng và không gian riêng cửa ma trận 1 Lập đa thức đặc trung pa W A - XI . 2 Giải phương trình . 0 để tìm các trị riêng của ma trận A. 3 ững với mỗi trị riêng X không gian riêng V X .