tailieunhanh - Các kiến thức cơ bản được sử dụng-Bất đẳng thức Cô si

Các kiến thức cơ bản được sử dụng a, Bất đẳng thức Cô si Cho n số thực không âm a1; a2 ;an ta có dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b, Bất đẳng thức Bunhia – copxki Cho hai bộ số a1; a2 ;an | Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung 2. Các kiến thức cơ bản được sử dụng a Bất đẳng thức Cô si aỉ a2 . a I Cho n sô thực không âm aỉ a2 .an ta có ----- ---------- n dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi aỉ a2 . an b Bất đẳng thức Bunhia - copxki Cho hai bộ sô a ạ .a và b b .b ta có ỉ 2 n ỉ 2 n 2 2 2 2 2 2 2 aỉbỉ a2b2 . anbn aỉ a2 . an bỉ b2 . bn j T-xẤiì 9 11- 1911- aỉ a2 a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi - -Ị2 . -jn c. Bất đẳng thức Trê bư sep Cho hai bộ sô sắp thứ tự giông nhau aỉ a2 . an và bỉ b2 . bn ta có aỉ a2 . an bỉ b2 . bn ab a2b2 . anbn n n n Nếu hai dãy sắp thứ tự ngược chiều thì ta được bất đẳng thức với chiều ngược lại. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi và chỉ khi aỉ a2 . an hoặc bỉ b2 . bn . - Kênh học tập Online Page 1 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung II. NỘI DUNG ĐỀ TÀI Chúng ta xuất phát từ bài toán gốc như sau Bài toán 1 Bất đẳng thức Nestbit Cho a b c 0 chứng minh ta luôn có C- - T I 1 b c c a a b 2 Có nhiều cách chứng minh ở đây tôi trình bày một số cách chứng minh như sau Lời giải Cách 1 - Kênh học tập Online Page 2 Sáng kiến kinh nghiệm Cao Tiến Trung Ta có a b c b c --------1----- c a a b a 3 CTT b c bã k c a 1 7 c a b Z . Z 1 1 1 X 1 a b c -------- ------- ------ b c c a a b 2 1 1 1 V 9 --------- 77 b c c a a b 2 Vậy a b c 3 ---------1-----------1--------- b c c a a b 2 dấu bằng xảy ra khi a b c Cách 2 y z - x x z - y x y - z Đặt x b c y c a z a b suy ra a - - - b c 1 với x y z 0 ta có a b c 1 y z - x x z - y x y - z. ------------- ------- L- ---L r b c c a a b 2 x y z 1 y z x x z X y. 3 1 y x y z x z. 3 --- -- y z 22 x y z y z x 2 mặt khác y x 2 y z 2 x z 2 theo bđt cô si x y z y z x yxvzxz . a b c 3 6 vậy I -1 -x y z y z x b c c a a b 2 suy ra Cách 3 Không mất tổng quát ta cho a b c 0 - ỉ ỉ 0 b c c a a b Áp dụng bất đẳng thức Trê bư sep cho hai dãy số cùng chiều ta có a b cXt1- 3 - - - - - b c c a a b b c c a a b mặt khác í Z 1 1 1 a b c -------- b c c a a b - - b c c a a b 1 ỉ ỉ -f- 2 b c c a a y 2 a b