tailieunhanh - Bài giảng Toán rời rạc - Chương 1: Quan hệ

Bài giảng Toán rời rạc Chương 1 Quan hệ nhằm nêu định nghĩa và tính chất, biểu diễn quan hệ, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự. Bài giảng được trình bày khoa học, súc tích giúp các bạn sinh viên tiếp thu bài học nhanh. | TOÁN RỜI RẠC Chương 1 Chương 1 QUAN HỆ 1. Định nghĩa và tính chất 2. Biểu diễn quan hệ 3. Quan hệ tương đương. 4. Quan hệ thứ tự. Quan hệ Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Đề các R A x B. Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b) R Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Ví dụ. A = tập sinh viên; B = các lớp học. R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} . Định nghĩa . Định nghĩa Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}, và R = {(a, b) | a là ước của b} Khi đó R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 1 2 3 4 1 2 3 4 . Các tính chất của Quan hệ Định nghĩa. Quan hệ R trên A được gọi là phản xạ nếu: (a, a) R với mọi a A Ví dụ. Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ vì (3, 3) R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ vì (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R2 Quan hệ trên Z phản xạ vì a a với mọi a Z Quan hệ > trên Z không phản xạ vì 1 > 1 1 2 3 4 1 2 3 4 Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z + là phản xạ vì mọi số nguyên a là ước của chính nó . Chú ý. Quan hệ R trên tập A là phản xạ nếu nó chứa đường chéo của A × A : = {(a, a); a A} . Các tính chất của Quan hệ Định nghĩa. Quan hệ R trên A được gọi là đối xứng nếu: a A, b A thì thỏa mãn (a R b) (b R a) Quan hệ R được gọi là phản xứng nếu a A b A thì thỏa mãn (a R b) (b R a) (a = b) Ví dụ. Quan hệ R1 = {(1,1), (1,2), (2,1)} trên tập A = {1, 2, 3, 4} là đối xứng Quan hệ trên Z không đối xứng. Tuy nhiên nó phản xứng vì (a b) (b a) (a = b) (a | b) (b | a) (a = b) Chú ý. Quan hệ R trên A là đối xứng nếu nó đối xứng nhau qua đường chéo của A × A. 1 2 3 4 1 2 3 4 Quan hệ“ | ” (“ước số”) trên Z +. không đối xứng Tuy nhiên nó có tính phản xứng vì 1 2 3 4 1 2 3 4 * * * Quan hệ R là phản xứng nếu chỉ có các phần tử nằm trên đường chéo là đối xứng qua . | TOÁN RỜI RẠC Chương 1 Chương 1 QUAN HỆ 1. Định nghĩa và tính chất 2. Biểu diễn quan hệ 3. Quan hệ tương đương. 4. Quan hệ thứ tự. Quan hệ Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi từ tập A đến tập B là tập con của tích Đề các R A x B. Chúng ta sẽ viết a R b thay cho (a, b) R Quan hệ từ A đến chính nó được gọi là quan hệ trên A R = { (a1, b1), (a1, b3), (a3, b3) } Ví dụ. A = tập sinh viên; B = các lớp học. R = {(a, b) | sinh viên a học lớp b} . Định nghĩa . Định nghĩa Ví dụ. Cho A = {1, 2, 3, 4}, và R = {(a, b) | a là ước của b} Khi đó R = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 3), (4,4)} 1 2 3 4 1 2 3 4 . Các tính chất của Quan hệ Định nghĩa. Quan hệ R trên A được gọi là phản xạ nếu: (a, a) R với mọi a A Ví dụ. Trên tập A = {1, 2, 3, 4}, quan hệ: R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3, 4), (4, 1), (4, 4)} không phản xạ vì (3, 3) R1 R2 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 4)} phản xạ vì (1,1), (2, 2), (3, 3), (4, 4) R2