tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 - Ngô Quang Minh

Dưới đây là bài giảng Toán cao cấp: Chương 8 của Ngô Quang Minh. Mời các bạn tham khảo bài giảng để hiểu rõ hơn về phương trình vi phân (phương trình vi phân cấp 1 và phương trình vi phân cấp 2). Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích. | 10 13 2012 0 Chương 8. Phương trình vi phân 1. Phương trình vi phân cấp 1 2. Phương trình vi phân cấp 2 1. PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP I . Khái niệm cơ bản về phương trình vi phân cấp 1 Phương trình vi phân cấp 1 là phương trình có dạng tổng quát F x y y 0 . Nếu từ ta giải được theo y thì trở thành y f x y . Nghiệm của có dạng y y x chứa hằng số C được gọi là nghiệm tổng quát. Khi thế điều kiện y0 y x0 cho trước thường gọi là điều kiện đầu vào nghiệm tổng quát ta được giá trị C0 cụ thể và nghiệm lúc này được gọi là nghiệm riêng của . 0 Chương 8. Phương trình vi phân VD 1. Cho phương trình vi phân y x 0 . x2 Xét hàm số y 2 C ta có y x 0 thỏa phương trình . x2 Suy ra y 2 C là nghiệm tổng quát của . x x Thế x 2 y 1 vào y 2 C ta được x2 C 1 y 2 1 là nghiệm riêng của ứng với điều kiện đầu y 2 1. 0 Chương 8. Phương trình vi phân . Một số phương trình vi phân cấp 1 cơ bản . Phương trình vi phân cấp 1 với biến phân ly 0 Phương trình vi phân với biến phân ly có dạng f x dx g y dy 0 ưỊ 0 Phương pháp giải Lấy tích phân hai vế của 1 ta được nghiệm tổng quát J f x dx J g y dy C. VD 2. Giải phương trình vi phân x ydy2 0. Giải. Ta có y xdx ydy xdx ydy 0 .1 J C 1 x2 1 y2 1 x2 1 y2 0 Chương 8. Phương trình vi phân Jd 1 x2 Jd 1 y2 2C 1 x2 1 y2 ln 1 x2 ln 1 y2 2C In 1 x2 1 y2 In C . Vậy 1 x 2 1 y2 C. VD 3. Giải phương trình vi phân y xy y 2 . Giải. y xy y 2 jy xy y 2 dx y ỹr ã xdx ỳ ĩ- J 2xdx 0 Chương 8. Phương trình vi phân C e. y .2 ln y 2 y VD 4. Giải ptvp x2 y 1 dx x3 1 y 1 dy 0. . . x2 . y 1 Giải. pt dx - 7 dy 0 -3-1 d x3 y 1 1 1 v è x3 1 y 2ln y 1 C 0 Chương 8. Phương trình vi phân 2 1 VD 5. Giải ptvp xy y y thỏa điều kiện y 1 2. GỊảỆ xy y y2 xdy y y2 dx y 1 ln - - y 1 ịln 3 x3 1 ln y 1 6 3C 3y x3 1 C y 1 6e 3y ln x C ln y y 1 Cxy . Thay x 1 y 2 vào ta được y 1 xy. ln Cx 1 10 13 2012 0 Chương 8. Phương trình vi phân . Phương trình vi phân đẳng cấp cấp 1 a Hàm đẳng cấp hai biến số Hàm hai biến f x y được gọi là đẳng cấp bậc n nếu với mọi k 0 thì f kx ky knf x y . .