tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 4 của GV. Ngô Quang Minh trang bị cho các bạn những kiến thức về phép tính vi phân hàm một biến số. Bài giảng này bao gồm những nội dung về đạo hàm, vi phân, các định lý cơ bản về hàm khả vi – cực trị; công thức Taylor; quy tắc L’Hospital. | 10 13 2012 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số 1. Đạo hàm 2. Vi phân 3. Các định lý cơ bản về hàm khả vi Cực trị 4. Công thức Taylor 5. Quy tắc L Hospital 1. ĐẠO HÀM . Các định nghĩa a Định nghĩa đạo hàm Cho hàm số y f x xác định trong lân cận a b của xn E a b . Giới hạn . 0 1L Ay_ f X0 Ax - f X0 lim lim 0---------------- Ax -0 Ax Ax -0 Ax nếu có được gọi là đạo hàm của y f x tại x0. Ký hiệu là f x0 hay y x 0 . 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Nhân xét. Do Ax x x0 nên L. f x - f x0 f x0 lim - . b Đạo hàm một phía Cho hàm số y f x xác định trong lân cận phải x0 b của x0. Giới hạn lim f x f x0 nếu có x x0 được gọi là đạo hàm bên phải của y f x tại x0. Ký hiệu là f x . Tương tự f x . Nhân xét. Hàm số f x có đạo hàm tại x0 khi và chỉ khi fx f x f xĩ. 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến sôi c Đạo hàm vô cùng . . Nếu tỉ số - m khi Ax 0 thì ta nói y f x có Ax ư đạo hàm vô cùng tại x0. Tương tự ta cũng có các khái niệm đạo hàm vô cùng một phía. VD 1. Cho f x 3x f 0 ra f x Vx f 0 ra. Chú ý Nếu f x liên tục và có đạo hàm vô cùng tại x0 thì tiếp tuyến tại x0 của đồ thị y f x song song với trục Oy. 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến sôi . Các quy tắc tính đạo hàm 1 Đạo hàm tổng hiệu tích và thương của hai hàm số u v u v v u v ax k 1 -kv 1 jT k e v I 2 1 uv v v I .1- 2 Đạo hàm của hàm số hợp f x y u x f x y . x hay y x y . x . 3 Đạo hàm hàm số ngược của y y x 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến số Đạo hàm của một số hàm số sơ cấp 1 x ax 1 2 ự x - 2 lx 3 sin x cos x 4 cos x sin x 5 tan x 1-cos2 x 1 6 cot x sin2 x 1 tan2 x 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến sôi 7 ex ex 8 ax ax .ln a 9 ln M -1 l0 loga M Jn a 11 arcsin x 1 1 x2 12 arccos x 1 13 arctan x ỉ v 1 x2 14 arc cot x ỉ-y. 1 10 13 2012 0 Chương 4. Phép tính vi phân hàm một biến so . Đạo hàm cấp cao Giả sử f x có đạo hàm f x và f x có đạo hàm thì f x f x là đạo hàm cấp hai của f x . Tương tự ta có f n x f-1 x j là đạo hàm cấp n của f x . 0 Chương 4. Phép tính