tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 - GV. Ngô Quang Minh

Bài giảng Toán cao cấp: Chương 2 do GV. Ngô Quang Minh biên soạn trình bày về hệ phương trình tuyến tính với những nội dung chính bao gồm định nghĩa; định lý Crocneker – Capelli; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính. | 10 13 2012 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 3. HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH . Định nghĩa Hệ gồm n an x. i 1 n và m phương trình a x ax . b 11 1 12 2 1n n 1 a x a x . a x b 21 1 22 2 2n n 2 m . ax ax . ax b m 1 1 m2 2 mn n m trong đó các hệ số a. e i 1 n j 1 m được gọi là hệ phương trình tuyến tính. 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Đặt A a11 a. 1n a ij mxn . - mn j . bm T và X x1 lần lượt là ma trận hệ số ma trận cột hệ số tự do và ma trận cột ẩn. Khi đó hệ I trở thành I AX B . Bộ số a a1 . an hoặc a a1 được gọi là nghiệm của I nếu Aa B. a B b xn n 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính VD 1. Cho hệ phương trình x1 - x2 2x3 4x4 4 2x1 x2 4x 3 3 2x2 - 7x3 5. Hệ phương trình được viết lại dưới dạng ma trận x t 1 1 2 4 1 x 2 14 0 2 x 3 0 2 7 0 3 Ix 4 5 2 và a 1 1 1 1 là 1 nghiệm của hệ. 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính . Định lý Crocneker - Capelli Cho hệ phương trình tuyến tính AX B. Gọi ma trận a11 a12 . . a 1n b1 mở rộng là A AB . a. . . a . m 2 . . . amn . . bm Định lý Hệ AX B có nghiệm khi và chỉ khi r A r A . Trong trường hợp hệ AX B có nghiệm thì Nếu r A n kết luận hệ có nghiệm duy nhất Nếu r A n kết luận hệ có vô số nghiệm phụ thuộc vào n r tham số. 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính . Phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính a Phương pháp ma trận tham khảo Cho hệ phương trình tuyến tính AX B với A là ma trận vuông cấp n khả nghịch. Ta có AX B X A B. VD 4. Giải hệ phương trình tuyến tính sau bằng phương pháp ma trận 2x y z 1 y 3z 3 -2x y z 1. 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính 2 1 í 1 1 2 Giải. A 0 1 3 A 1 _ 1 3 2 3 9 2 1 1 2 1 0 1 Hệ phương trình X A 1 B x 1 1 2 1 x 3 y 2 3 2 3 3 y 6 z 1 0 1 r 1 z 1 x 3 Vậy hệ đã cho có nghiệm y 6 z 1. 1 10 13 2012 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính b Phương pháp định thức hệ Cramer Cho hệ AX B với A là ma trận vuông cấp n. Bước 1. Tính các định 1 thức aii A det A a ni a11 A. . J ã. ni . b n a__ nn j 1 n 0 Chương 2. Hệ phương trình tuyến tính Bước 2. Kết luận Nếu A 0 thì hệ có nghiệm