tailieunhanh - Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 truyền thống 30/4 lần thứ XVII năm 2011

Các bạn học sinh và quý thầy cô tham khảo miễn phí Đề thi Olympic môn Toán lớp 11 truyền thống 30/4 lần thứ XVII năm 2011 - Đề chính thức để hệ thống kiến thức học tập cũng như trau dồi kinh nghiệm ra đề thi. | SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP. CẦN THƠ TRƯỜNG THPT CHUYÊN LÝ TỰ TRỌNG ĐỀ CHÍNH THỨC Chú ý: Đề thi này có 1 trang, Học sinh làm bài mỗi câu trên tờ giấy làm bài riêng, Không được sử dụng máy tính cầm tay để làm bài. KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30/4 LẦN THỨ XVII NĂM 2011 Khóa ngày 09 tháng 4 năm 2011 Môn thi: TOÁN; lớp 11 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể phát đề Câu 1 (3 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực: 1 1 x 2 (1 x)3 (1 x)3 2 1 x 2 . Câu 2 (4 điểm) Cho p là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn hệ thức: p x p y p p ( p 1)! . Câu 3 (3 điểm) Qua điểm S bất kì thuộc mặt cầu bán kính R ta dựng các đường thẳng đôi một hợp với nhau một góc a , cắt mặt cầu tại các điểm A, B, C ( khác S) sao cho SA = SB = SC. Xác định a để thể tích khối chóp lớn nhất. Câu 4 (3 điểm) Cho tam giác ABC không tù nội tiếp đường tròn tâm O bán kính bằng 1. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và A0 , B0 , C 0 lần lượt là hình chiếu của G lên BC, CA, AB. Các đường thẳng qua A, B, C lần lượt vuông góc với GA, GB, GC và đôi một cắt nhau tại A1 , B1 , C1 ( A B1C1 , B A1C1 , C A1 B1 ). Gọi S 0 , S1 lần lượt là diện tích các tam giác A0 B0 C0 , A1 B1C1 . 32 27 Chứng minh S0 .S1 . 27 16 Câu 5 (3 điểm) Cho dãy số xn xác định bởi 1 x1 4 2 x x1 4 x2 9 x3 . n 1 xn 1 n n 2 (n 1) với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1. Tìm lim 30n 2 4n 2011 xn . n Câu 6 (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : 1; 1; thỏa mãn điều kiện f xf ( y ) yf ( x) x, y 1; Hết Học sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: