tailieunhanh - Chuyên đề Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số - GV. Nguyễn Tất Thu

Chuyên đề "Ứng dụng đạo hàm trong các bài toán hàm số" cung cấp kiến thức và đưa ra các bài toán liên quan đến nghiệm phương trình, bất phương trình, giải phương trình, hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, các bài toán cực trị, chứng minh bất đẳng thức, các bài toán tam giác. | Chuyên ñ . NG D NG ð O HÀM NG D NG ð O HÀM TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM S TRONG CÁC BÀI TOÁN HÀM S Gv. Nguy n T t Thu − Tp. Biên Hòa, ð ng Nai I. Các bài toán liên quan ñ n nghi m c a phương trình, b t phương trình. ð nh lí 1. S nghi m c a phương trình f(x) = g(x) chính là s giao ñi m c a hai ñ th y = f(x) và y = g(x) ð nh lí 2. N u hàm s y = f(x) liên t c trên D và m = min f ( x) , M = max f ( x) thì phương trình x∈D x∈D f(x) = k có nghi m khi và ch khi m≤k ≤M . ð nh lí 3. B t phương trình f ( x) ≥ g ( x) nghi m ñúng m i x thu c D khi và ch khi min f ( x) ≥ max g ( x) x∈D x∈D Các ví d . Bài 1. Tìm m ñ phương trình sau có nghi m x2 + x + 1 − x2 − x + 1 = m (HSG Ngh An 2005) Gi i. Xét hàm s f ( x) = x 2 + x + 1 − x 2 − x + 1 có t p xác ñ nh là D = IR 2x + 1 2 x2 + x + 1 2 f / ( x) = − 2x −1 2 x2 − x + 1 (1) 2 ⇒ f / ( x ) = 0 ⇔ (2 x + 1) x 2 − x + 1 = ( 2 x − 1) x 2 + x + 1 1 1 3 1 1 3 ⇒ x + [( x − ) 2 + ] = x − [( x + )2 + ] 2 2 4 2 2 4 ⇔ x = 0 không th a mãn (1). V y f /(x) = 0 vô nghi m, mà f /(0) = 1 > 0, do ñó f /(x) > 0, ∀x ∈ IR. M t khác lim f ( x) = lim x →+∞ 2x x2 + x + 1 + x2 − x + 1 x →+∞ = 1; lim f ( x) = −1 x →−∞ V y phương trình ñã cho có nghi m khi − 1 < m < 1. π Bài 2. Tìm a ñ phương trình ax 2 + 1 = cos x có ñúng m t nghi m x ∈ 0; . 2 (ð thi HSG t nh H i Dương L p 12 năm 2005) Gi i. Ta th y ñ phương trình có nghi m thì a ≤ 0. Khi ñó, phương trình tương ñương cos x − 1 =a⇔ x2 x 2 Xét hàm s sin 2 x 2 = −2a 2 f (t ) = sin t π , t ∈ 0; . Ta có t 4 f / (t ) = t − sin t cos t ( t - tgt ) π = < 0, ∀t ∈ 0; 2 2 t t 4 π ⇒ f(t) ngh ch bi n trên 0; . 4 mà f ( ) = 4 π π 2 2 và lim f (t ) = 1 ⇒ t →0 2 2 π x 2 < 1, ∀x ∈ (0; π ) < f (t ) < 1 ⇒ 2 < 2 π 2 x 2 8 sin 2 π 8 1 4 V y phương trình ñã cho có ñúng m t nghi m x ∈ (0; ) ⇔ 2 < −2a < 1 ⇔ − < a < − 2 . 2 π 2 π Bài 3. Cho phương trình x 6 + 3 x 5 − 6 x 4 − ax 3 − 6 x 2 + 3 x + 1 = 0 . Tìm t t c các giá tr c a tham s a, ñ phương trình có .