tailieunhanh - 201 Bài tập phương trình vi phân

tài liệu "201 Bài tập phương trình vi phân" sau đây. Tài liệu ngoài việc cung cấp các dạng bài tập toán phương trình vi phân hữu ích còn kèm theo hướng dẫn giải cho từng bài cụ thể, giúp các bạn dễ dàng kiểm tra và ôn tập hiệu quả hơn. | 1 . . ` ˆ ˆ BAI TAP PHU O NG TR` INH VI PHAN . 1) . . ' nh: Giai phu o ng tr 2xy y” = y 2 − 1 2xpp = p2 − 1 √ dx 2pdp . 2 V i x(p − 1) = 0 ta co : o = ⇔ p2 − 1 = C1 ⇔ p = ± C1 x + 1 p2 − 1 x √ dy 2 3 p= = C1 + 1 ⇒ y = (C1 x + 1) 2 + C2 dx 3C1 ’ HD giai: - Dat . y =p: 2) . . ' Giai phu o ng tr nh: √ ” = y ’ HD giai: . V i o - Dat . y = p ⇒ y” = p dp dy . . '. nh tro thanh: (ham theo y). Phu o ng tr √ yp dp =p dy p=0 . . . . ta d u o c phu o ng tr . nh: dy dy √ √ = 2 y + C1 ⇒ dp = √ ⇒ p = 2 y + C1 ⇔ y dx dy dx = √ 2 y + C1 . ' e o T d nghi^m t^ ng qua t: u o . Ngoai ra x= √ y− C1 √ ln |2 y + C1 | + C2 2 y = c: ~ h ng cu ng la nghi^m. a e . 3) . . ' nh: Giai phu o ng tr a(xy + 2y) = xyy ’ HD giai: a(xy + 2y) = xyy ⇒ x(a − y)y = −2ay N^ u e y = 0, . . . . . . . ta co phu o ng tr nh tu o ng d u o ng v i o ~ cu ng la nghi^m. e . 2a a−y dy = − dx ⇔ x2a y a e−y = C y x Ngoai ra y=0 4) . . ' nh: Giai phu o ng tr y” = y ey ’ HD giai: . V ip o . V i o - Dat . y = p ⇒ y” = p dp dy . . thay vao phu o ng tr nh: p dp = pey dy ey dy y ) = − ey + C1 C1 1 ln(ey + C1 ) C1 dy dy dp = ey ⇔ p = ey + C1 ⇒ = ey + C1 ⇔ y = dx dy dx e + C1 1 1 dy ey + C1 − ey = dy = (y − C1 = 0 ta co : ey + C1 C1 ey + 1 C1 =0: ´ nˆ u C1 = 0 e ´ nˆ u C1 = 0. e −e−y dx . nhu v^y: a = 1 . ey + C1 (y − ln |ey + C1 |) C1 Ngoai ra y = C : h ng la m^t nghi^m a o e . . 5) . . ' Giai phu o ng tr nh: xy = y(1 + ln y − ln x) . v i o y(1) = e 2 y y (1 + ln ), d at y = zx d : xz = z ln z . . x x dx y dz = ⇒ ln z = Cx hay ln = Cx ⇔ y = xeCx • z ln z = 0 ⇒ z ln z x x y(1) = e → C = 1. V^y y = xex a . ’ HD giai: . . - . Du a phu o ng tr nh v^: e y = 6) . . ' Giai phu o ng tr nh: y”(1 + y) = y 2 + y ’ HD giai: - Dat . y = z(y) ⇒ z = z dz dy . . thay vao phu o ng tr nh: dy dz = z+1 y+1 ⇒ z + 1 = C1 (y + 1) ⇒ z = C1 y + C1 − 1 ⇔ • C1 = 0 ⇒ (∗) • C1 = 0 ⇒ (∗) Ngoai ra cho cho dy = dx (∗) C1 y +