tailieunhanh - Đề thi Olympic Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 - Kèm Đ.án

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic môn Toán sinh viên cấp trường ĐH Kinh tế Quốc dân Hà Nội năm 2013 sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh thi Olympic Toán sắp tới. | Đề thí Olympic toán sính viên cấp trường đại học Kính tế quốc dân Hà Nội năm 2013 9 Câu 1 Cho dãy số uj xác đinh như sau U1 p2 un i un U 8n 1 2 2011V2 Tìm ui u2 un X lim n 1 u2 u3 un 1 Câu 2 Cho f 0 1 0 1 là hàm số liên tục sao cho ỉ 0 0 ỉ 1 1 Đặt ỉ ỉ ỉ fk k Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho fn x x Vxe 0 1 . Chứng minh rằng ỉ x X Vxe 0 1 Câu 3 Cho ỉ R R là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 không âm. Chứng minh rằng f x f x f x VxeR Câu 4 Tìm hàm số ỉ R R thỏa mãn ỉ xỉ y x xy ỉ x Vx yeR Câu 5 a Tính tích phân 1 dx ex 1 x2 1 b Giả sử ỉ x là hàm liên tục trên a b và thỏa mãn điều kiện ỉ xi x2 2 ỉ x1 ỉ x2 2 Chứng minh rằng fía b h fb ỉ a ỉ b h H b - a y ỉ x dx -----------2---- b - a Câu 6 cho ỉ a b a b là hàm liên tục. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n tồn tại số dương a và ce a b sao cho ỉ c ỉ c ỉ c n n 1 c n Hết Đáp án tham khảo đề thí Olympic toán sính viên cấp trường đại học Kinh tế quốc dân Hà Nội năm 2013 Câu 1 U 2 Cho dãy số Un xác đinh như sau U1 V2 Un 1 Un yy 8n 1 2 . 2011 2 Tìm lim - . U2 . Un . . - U3 Un 1 Lời giải Từ công thức xác đinh dãy ta có 2011 p 2 ỉ------------ Un Un 1J Un Un 1 U1 2 . U2 U3 Uk Uk 1 2011 2 - U1 uk 1 1 Hơn nữa un 1 un y 2 8n thì nó hội tụ về a hữu hạn suy a lim 2 N Do đó Un là dãy đơn điệu. Do đó nếu dãy Un bi chặn trên ra U2n Un 1 lim Un -TP n 1 V 2011 2 a2 a _ _ 7 201H 2 Suy ra a 0 vô lý do a v 2 Vậy Un không bi chặn trên nên lim 1 n i lim U1 . 2011P2 n i ỵ U2 Un 1 Câu 2 Cho f 0 1 0 1 là hàm số liên tục sao cho f 0 0 f 1 1 Đặt f 0 f f . 0 f fk k Giả sử rằng tồn tại số nguyên dương n sao cho fn x x Vxe 0 1 . Chứng minh rằng f x X Vxe 0 1 Lời giải Với x y 2 0 1 sao cho f x f y suy ra fn x fn y x y Vậy f đơn ánh. Kết hợp giả thiết f liên tục suy ra f đơn điệu trên 0 1 Có f 0 0 1 f 1 do đó f đơn điệu tăng . Giả sử tồn tại xo 2 0 1 sao cho f xo xo fn xo fn-1 xo . f xo Xo Mâu thuẫn Tương tự vậy nếu có xo 2 0 1 sao cho f xo xo thì cũng dẫn đến fn xo xo . Vậy phải có f x X 8x 2 0 1 Câu 3 Cho f R R là hàm khả vi. có đạo hàm cấp 2 .