tailieunhanh - Ebook Nhập môn đại số giao hoán và hình học đại số: Phần 2

Nối tiếp nội dung của phần 1 cuốn sách "Nhập môn đại số giao hoán và hình học đại số", phần 2 giới thiệu tới người đọc các nội dung: Bậc siêu việt, chiều, đa tạp tựa afin, ánh xạ hữu tỷ, địa phương hóa, siêu diện, kỳ dị, không gian xạ ảnh, bội, đa tạp tựa xạ ảnh, bó vành và lược đồ. . | 79 Chương 10 BẬC SIÊU VIỆT Cho .4 là đại số ưẽn vành c. Ta gọi hệ phần từ s A là độc lập đại sớ ưên c nếu mọi hệ phần lử hữu hạn 21 . zm trong s không là nghiêm của bât kỳ đa thức m biến 7 0 nào với hệ sô ưong c. Nếu một phần tử z .4 là dộc lạp đại sỏ thì ta gọi 2 là phần từ siêu việt trôn c. Sô phàn từ lớn nhất cùa các hệ độc lập dại sô tôi dại ưên c ưong .4 được gọi là bậc siêu việt của A ưẽn c ký hiệu là A. Dẻ thấy ràng một hệ phẩn tử hữu hạn 21 . 2m là độc lập đại sô trẻn c khi và chi khi C zị . zm đảng cấu với vành đa thức m biến ưên c. Từ đây suy ra 21 . zm là hỗ dộc lập dại số trên c khi và chỉ khi Zị là phần từ siêu việt trên Cịzi . 2 -1 với mọi i . Ta sẽ tạp trung nghiên cứu bạc siêu việt của các đại số ưên trường k. Trước tiên ta hãy xét một trường mở rộng hữu hạn sinh L của k. Khi đó mọi hộ phần tử sinh cùa L đều chứa một hộ độc lập đại sô tối đại cùa L. BÔ ĐÊ . Cho L k zỵ . 2n . Mọi hệ độc lập đại sô tối đại trong tập các phán từ 21 . 2n là hệ độc lập đại số tối đại trong L. Chúng minh. Sau một phép hoán vị ta có thể già sử 21 . zrn m n là hê dộc lập đại số tối đại trong . Do các phần tử 2m i . 2n là phần tử đại sô trên k zỵ . zm nên L là mở rộng đại sổ của fc zi . zm Định lý . Vì vây L không chứa phán tử siêu việt nào trôn fcịzi . 2m . Suy ra là hệ dộc lập đại sô tối đại trong L. Bậc siêu việt của L chính là số phần tử của mọi hộ độc lập dại sô tói đại. 80 Chương 10. Bậc siêu việt ĐỊNH LÝ . Mọi hệ phán tử đột lập dại số lối đại trong L đều hữu hạn và có cùng sô phán từ. Chúng minh. Theo Bổ đề thì L có hệ dộc lạp đại sô tối đại hữu hạn. Ta chi càn chứng minh d m với mọi hệ độc lập đại só 1 1 . j và mọi hê độc lập đại số tới đại hữu hạn 2 . zm trong L vì từ đây ta suy ra dược mọi hộ dộc lập đại sõ lởi đại trong L phải có cùng sô phần từ. Giả sử d m. Đột K k y2 . ydỴ Ta thấy 21 . zm không thể đều là phán từ đại số trên h . Thật vậy. nếu đểu là phẩn từ đại sô trên K thì A là mờ rộng đại số cùa K. Theo .