tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Bài 2 - Các dạng toán về ma trận

Bài giảng Toán cao cấp: Bài 2 -  Các dạng toán về ma trận giới thiệu tới các bạn những dạng toán như tìm điều kiện để tồn tại A-1; tìm ma trận An-1; tính chất của A-1; giải phương trình ma trận; tìm hạng của ma trận; tính chất của phép toán trên ma trận.   | BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN ( PHẦN 1 ) Dạng 1 TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A-1 PP: Dùng định lý A khả nghịch detA khác 0 A = ( x 2 3 ) Tìm x để A khả nghịch Ví dụ 1: x -x -1 A khả nghịch detA khác 0 A = (x 2 3) x -x -1 = (x2-2x-3) detA = x2-2x-3 A khả nghịch x2-2x-3 0 x x -1 3 1 1 3 4 2 6 m -3 -9 A = 1 2 m -3 2 1 -6 -3 1-m Tìm m để A khả nghịch Ví dụ 2: B C A = detA = 1 1 3 4 2 6 m -3 -9 A = 1 2 m -3 2 1 -6 -3 1-m 1 3 2 6 -3 -9 = detB = 0, m detA = 0, m A-1 không tồn tại với mọi m n=1: n=2: A-1 = 1 detA c d a b A = Dạng 2 TÌM MA TRẬN An-1 - - a d c b Nếu A = (a), a = 0 A = (2) A-1=(1/2) 1 -2 -1 -3 A = Ví dụ: Tìm A-1 biết thì A-1= ( ) 1/a 1 -2 -1 -3 A = 1 -1 -2 3 A-1 = 1 5 - - PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp n 3: PP2: Dùng công thức °Đổi chỗ hai dòng °Nhân một dòng với một số khác 0 °Cộng vào một dòng k lần một dòng khác PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp A I Phép bđsc I A-1 Ví dụ : Tìm A-1, biết: A = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 A I I A-1 A I = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 d2-2d1 , d3-d1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 -2 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 -1 1 0 -2 d2-d3 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 -1 1 1 0 -1 1 0 -1 d1-d2 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 -1 1 1 0 -1 2 -1 -1 1 -1 1 1 0 -1 2 -1 -1 A-1 PP2: Dùng công thức A11 A21 . . . An1 A12 A22 An2 A1n A2n Ann . . . . . . . . . A-1 = A 1 Ai j = (-1)i+j Di j Di j là định thức bỏ dòng i, cột j từ detA Ví dụ: Tính tổng các phần tử ở dòng 1 của A-1 A = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 A11 A21 A31 A12 A22 A32 A13 A23 A33 A-1 = A 1 A11 A21 A31 A 1 S = ( A11 A21 A31 ) A 1 + + A = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 detA = 1 S = ( ) A11 A21 A31 + + A = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 A11=(-1)1+1D11 = D11 = 2 A21=(-1)2+1D21 = -D21 = -1 A31=(-1)3+1D31 = D31 = 1 S = A11 A21 A31 + + = 2 BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN ( PHẦN 2) Dạng 3 TÍNH CHẤT CỦA A-1 TC3: (AB)-1 = TC1: (A-1)-1 = TC2: (AT)-1 = A (A-1)T B-1A-1 Nếu A khả nghịch thì mệnh đề sau đúng hay sai (2A)-1 = 2A-1 Ví dụ1: Nếu A=(a) thì A-1=(1/a), a khác 0 A=(1) 2A = (2A)-1= A-1= 2A-1= Vậy mệnh đề trên sai (2) . | BÀI 2 CÁC DẠNG TOÁN VỀ MA TRẬN ( PHẦN 1 ) Dạng 1 TÌM ĐK ĐỂ TỒN TẠI A-1 PP: Dùng định lý A khả nghịch detA khác 0 A = ( x 2 3 ) Tìm x để A khả nghịch Ví dụ 1: x -x -1 A khả nghịch detA khác 0 A = (x 2 3) x -x -1 = (x2-2x-3) detA = x2-2x-3 A khả nghịch x2-2x-3 0 x x -1 3 1 1 3 4 2 6 m -3 -9 A = 1 2 m -3 2 1 -6 -3 1-m Tìm m để A khả nghịch Ví dụ 2: B C A = detA = 1 1 3 4 2 6 m -3 -9 A = 1 2 m -3 2 1 -6 -3 1-m 1 3 2 6 -3 -9 = detB = 0, m detA = 0, m A-1 không tồn tại với mọi m n=1: n=2: A-1 = 1 detA c d a b A = Dạng 2 TÌM MA TRẬN An-1 - - a d c b Nếu A = (a), a = 0 A = (2) A-1=(1/2) 1 -2 -1 -3 A = Ví dụ: Tìm A-1 biết thì A-1= ( ) 1/a 1 -2 -1 -3 A = 1 -1 -2 3 A-1 = 1 5 - - PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp n 3: PP2: Dùng công thức °Đổi chỗ hai dòng °Nhân một dòng với một số khác 0 °Cộng vào một dòng k lần một dòng khác PP1: Dùng phép biến đổi sơ cấp A I Phép bđsc I A-1 Ví dụ : Tìm A-1, biết: A = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 A I I A-1 A I = 0 1 1 3 1 1 1 1 2 0 0 1 1 0 0 1 0