tailieunhanh - Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Các dạng toán về định mức

Bài giảng Toán cao cấp: Bài 1 - Các dạng toán về định mức trình bày về các dạng toán như tính định thức D = detAn; so sánh hai định thức; giải phương trình detA = f(x); bài toán về quan hệ giữa detA, detkA, detA-1, detAT. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.   | BÀI 1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC Th1: Định thức D là định thức đặc biệt . Có một dòng hoặc một cột bằng 0 b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhau c. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ D = 0 2. Có dạng tam giác hoặc dạng chéo D = tích các phần tử trên đường chéo chính TÍNH ĐỊNH THỨC D = detAn dạng 1 Ví dụ: 8 2 8 7 6 0 6 9 4 3 4 9 2 5 2 7 = 0 8 2 8 7 0 1 6 9 0 0 0 3 0 0 2 7 = 48 0 0 0 0 7 9 9 0 1 8 1 3 2 1 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n=1: detA = -1 Ví dụ: Tính detA , Ta có a = A = (2 -1 0) 1 3 -1 = -1 2 -3 - 0 A = ( a ) A = ( -1 ) 1x3 3x1 A = (a) thì detA = a Th2: D=detAn không đặc biệt a11 a12 a21 a22 = 1-i 4 3 1+i (1-i) (1+i) - 3 (4) Ví dụ: a22 - a21 a12 = a11 n=2: = -10 a11 a12 a13 a23 a22 a21 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 - a32 a23 a11 a33 a21 a12 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a22 a13 - + + - a11 a12 a13 a23 a22 a21 a31 a32 a33 a11 a12 a22 a21 a31 a32 Dùng Quy tắc Sarius n=3: Cách 1 Ví dụ: Tính định thức sau đây: 1 x 0 1 2 x 3 2 2 1 x 0 1 2 x 3 2 2 1 x 2 x 3 2 4 + 3x + 0 - 0 - 2 - 2x2 = -2x2 +3x+2 D = D = Cách 2 Đưa về định thức đặc biệt TC1: Định thức không thay đổi khi lấy một dòng cộng với k lần một dòng khác TC3: Nhân tử chung của một dòng có thể đưa ra ngoài dấu định thức TC2: Định thức đổi dấu khi đổi chỗ hai dòng a+b c 1 1 b c+a b+c a D = 1 a+b+c c 1 1 c+a+b b+c+a a = 1 b 1 c 1 1 1 1 a = 1 b (a+b+c) = 0 Ví dụ : Tính định thức sau đây: 1 1 1 1 1 1 n 4: Cách 1 Khai triển theo một dòng hoặc một cột (Chọn dòng hoặc cột có nhiều số 0) Ví dụ : Tính định thức sau đây 9 1 2 1 0 -1 0 0 0 5 4 2 3 1 4 1 = a21 (-1)2+1 D21 (-1)2+2 D22 a23 (-1)2+3 D23 a24 (-1)2+4 D24 + + + a22 0 -1 0 0 9 1 2 1 0 -1 0 0 0 5 4 2 3 1 4 1 = (-1)2+2 D22 a22 = (-1) 9 2 1 0 4 2 3 4 1 = -36 0 -1 0 0 1 9 2 1 0 4 2 3 4 1 A = (0) D C B C B (0) D D (0) B C B C D (0) detA = ( B, D là ma trận vuông ) Cách 2 Dùng hệ quả của khai triển Laplace 2 1 3 4 1 5 2 3 0 -2 2 0 1 2 0 0 Ví dụ: Tính định thức sau đây: (-10) (1) = -10 3 -2 2 2 2 3 1 5 D = D = 3 5 2 3 -2 2 1 2 = Cách 3 Đưa . | BÀI 1 CÁC DẠNG TOÁN VỀ ĐỊNH THỨC Th1: Định thức D là định thức đặc biệt . Có một dòng hoặc một cột bằng 0 b. Có hai dòng hoặc hai cột bằng nhau c. Có hai dòng hoặc hai cột tỉ lệ D = 0 2. Có dạng tam giác hoặc dạng chéo D = tích các phần tử trên đường chéo chính TÍNH ĐỊNH THỨC D = detAn dạng 1 Ví dụ: 8 2 8 7 6 0 6 9 4 3 4 9 2 5 2 7 = 0 8 2 8 7 0 1 6 9 0 0 0 3 0 0 2 7 = 48 0 0 0 0 7 9 9 0 1 8 1 3 2 1 8 8 6 6 4 4 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 n=1: detA = -1 Ví dụ: Tính detA , Ta có a = A = (2 -1 0) 1 3 -1 = -1 2 -3 - 0 A = ( a ) A = ( -1 ) 1x3 3x1 A = (a) thì detA = a Th2: D=detAn không đặc biệt a11 a12 a21 a22 = 1-i 4 3 1+i (1-i) (1+i) - 3 (4) Ví dụ: a22 - a21 a12 = a11 n=2: = -10 a11 a12 a13 a23 a22 a21 a31 a32 a33 = a11 a22 a33 - a32 a23 a11 a33 a21 a12 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a31 a22 a13 - + + - a11 a12 a13 a23 a22 a21 a31 a32 a33 a11 a12 a22 a21 a31 a32 Dùng Quy tắc Sarius n=3: Cách 1 Ví dụ: Tính định thức sau đây: 1 x 0 1 2 x 3 2 2 1 x 0 1 2 x 3 2 2 1 x 2 x 3 2 4 + 3x + 0 - 0 -