tailieunhanh - CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

Tham khảo tài liệu 'cực trị trong hình học không gian', tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả | CHỦ ĐỂ cực TRỊ TRONG HÌNH KHÔNG GIAN . BÀI TOÁN Bài toán Trong không gian Oxyz cho các điểm Ap A2 . An. Xét véc tơ w aỉMA1 a2MA2 . anMAn Trong đó a1 a2 . an là các số thực cho trước thỏa mãn 04 a2 . an 0. Tìm điểm M thuộc mặt phẳng P sao cho W có độ dài nhỏ nhất. o Phương pháp Gọi Glà điểm thỏa mãn aJGAl X2GA2 . anGAn Õ điểm G hoàn toàn xác định . Ta có MAk MG GAk với k l 2 . n nên w Xj a2 . an MG a1GA1 a2GA2 . anGAn Do đó W an MG. MG. n an là hằng số khác không nên w có giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất mà M e P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên mặt phẳng P . . CÁC VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ . Cho các điểm A 2 l -l B 0 3 1 và mặt phẳng P với P x y- z 3 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phảng P a MA MB đạt giả trị nhỏ nhất. b 2MA - MB đạt giá trị nhỏ nhất. à Lòi giải. Gọi trung điểm của AB là 1 1 2 0 . Ta có MA MB 2MI nên MB 2 MI 2MI nên MA MB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất. Mà M e P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của I trên P . Giả sử M x y z thì IM x -1 y - 2 z nên từ IM m e P ta có M -1 0 2 . x y-z 3 0 Vậy điểm M cần tìm là M -l 0 2 . b Gọi J a b c là điểm thỏa mãn 2JA- JB Õ J 4 -1 -3 . Ta c ó 2MA - MB 2MJ 2JA - MJ - JB MJ nên 2MA-MB MJ MJ Do đó 2MA - MB có giá trị nhỏ nhất khi MJ nhỏ nhất hay M là hình chiêu của J trên mặt phăng P . Gọi M x y z ta có tọa độ M thỏa mãn hệ x y-z 3 0 Suy ra tọa độ điểm cần tìm là M l - 4 0 . Ví dụ . Cho các điểm A l 0 -l B 2 -2 1 C O -1 0 và mặt phẳng P X - 2y 2z 6 0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phang P sao cho a MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất. a b 2MA - 4MB 3MC đạt giá trị nhỏ nhăt. Lởi giải Gọi trọng tâm của tam giác ABC là G l -1 0 . Ta có MA MB MC 3MG nên MA MB MC 3MG nên MA MB MC đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất. Mà M e P nên điểm M cần tìm là hình chiếu của G trên P . Giả sử M x y z thì IM x -1 y 1 z nên từ IM P 1 tacó Ị Me P M 0 1 - 2 . Vậy điêm M cân tìm là M 0 1 -2 . b Gọi J a b c là điểm thỏa mãn 2JA - 4JB .