tailieunhanh - Đề thi Olympic Toán (Đại số) sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013 phần Đại số sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh tham gia kỳ thi Olympic Toán sắp tới. | Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013 Môn thi Đại số. Thời gian 150 0 Bài 1 Cho ánh xạ tuyến tính a Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho 1 . b Nếu thêm giả thiết f AB f BA với mọi A B thì tồn tại sao cho .-. Bài 2 Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận là một ma trận chéo hóa được. Ở đó là ma trận đơn vị cấp n. Bài 3 Cho 1 là các số phức với với mọi cặp . . Tính định thức của ma trận . ở đó 1 V Bài 4 Giả sử A và B là 2 ma trận cỡ í với hệ số phức. Chứng minh rằng - Bài 5 a Cho 1 là một ma trận thỏa mãn điều kiện . I . Chứng minh rằng A I b Cho 1 là một ma trận thỏa mãn điều kiện . I . Kết luận A I có còn đúng không Tại sao Bài 6 Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn P x F xl F r2 . tK Định nghĩa và ký hiệu 1 là vết của ma trận vuông B được định nghĩa bằng tổng các phần tử trên được chéo chính của B 2 3 Giả sử 1 . Ma trận phụ hợp phức của A được định nghĩa như sau . Ma trận A được gọi là . nếu . . ì . Môn thi Giải tích Thời gian 120 Bài 1 Tính giới hạn sau Bài 2 Cho là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi . J sao cho .r R Chứng minh rằng nếu thì g b 0 Bài 3 Cho hai dãy số thực và left y_ n right _ 0 A infty thỏa mãn các điều kiện sau 1. I - I - . 2. . _____-1 . lilỉlv . n U .- . 1 Chứng minh rằng Bài 4 Cho hàm số I thỏa mãn các điều kiện sau 1 lini .rl - . x 1. . 2. . bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong I - x . Chứng minh rằng Bài 5 Cho đa thức . với các hệ số và a neq 0 . Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên sao cho . Chứng minh rằng phương trình P x 0 có nghiệm .