tailieunhanh - Toán học và tuổi trẻ Số 193 (7/1993)

Sau đây là tài liệu Toán học và tuổi trẻ Số 193 (7/1993). Mời các bạn tham khảo tài liệu để hiểu rõ hơn về đa thức; Toán ở quanh ta; thiết lập các bất đẳng thức từ một đẳng thức có điều kiện; phương trình kiểu Fecma; từ định luật bảo toàn năng lượng và một số nội dung khác. | Tổng biên tập Nguyễn Cảnh Toàn Phó tổng biên tập Ngô Đạt Tứ - Hoàng Chúng TẠP CHÍ RA HÀNG THĂNG Bộ GIÁO DUC VÀ ĐÀỌ TAO HỎI TOÁN HỌC VIÉT NAM 7 193 ỉ 993 Dành cho các bạn PTCS MÔT CHÚT VỀ ĐA THỨC NGUYỄN ĐỨC TẤN Nếu biết vận dụng khéo léo những tính chất của đa thức được học ở PTCS chúng ta sẽ tìm được lời giải đẹp của môt số bài toán và hơn nữa chúng ta con có thế giải được một số bài toán khó thường gặp trong các ky thi chọn học sinh giỏi toán. Xin trao đổi cùng bạn đọc Một chút vé đa thức . Nhắc lại một số tính chất đã học Giả sử f x và g x là hai đa thức biến X. 1 f a 0 a G Q - f x có nghiệm X a 2 Dư khi f x chia cho X - a là f a định lí Bezout . 3 f x g x . bậc f x bậc g x - f x 0 4 f x g x các hệ số tương ứng bằng nhau. 5 Số nghiệm của một đa thức bậc n không Ị quá n n G Z Một số bài toán áp dụng Bài 1 Phân tích thành nhân từ p x y z 3 - X3 -y3 - z3 . Giải Xem p là một đa thức biến X. Khi X - y thì p 0. p X y. Trong p vai trò X y z như nhau nên cũng co p X z p y z như vậy p x y x z y z Q. Mà P là đa thức bậc 2 đoi VỚI X y va z nên ộ là hằng số. Với X 0 y z 1 ta có Q 3 Vậy P - 3 x y x z y z Bài 2 Tim tắt cả các da thức P x thỏa mãn xP x -1 x -26 P x Vô DỊCH TOÁN MATXCƠVA 1963 Giải Dễ thấy P 0 0 P l 0 P 2 0 . P 25 0 Vậy P x x x - 1 . x - 25 Q x . SuyraP x-l x-l x-2 . x-26 Q x-1 xP x - 1 x - 26 P x Q x - 1 Q x s Q x a hằng số Vậy P x ax x - 1 . x - 26 Bài 3 Cho hai đa thức với hệ số nguyên fl x f2 x thỏa mãn f x fj x3 xf2 x3 X- X 1 Chứng minh ròng USCLN fi 1984 f2 1984 1983. TOÁN HỌC VÀ TUỔI TRẺ BÀI 2 134 Giải zf x I r i x3 - fl 1 1 x f2 x3 - xG l fi l de thấy flit3 fid X2 X 1 f2 x3 - fici X2 X 1 Suy ra xf2 l fỵ 1 X2 X 1 nhờ t c 3 suy ra id fill 0 Vậy fdx X - 1 f2 x X - 1 do đó USCLN 1 1984 f2 1984 - k. 1984 k e N k 1 khi f x f2 x X - 1. Bài 4 Cho f x là một đa thức có hệ số nguyên vàf 0 f í íà những số lẻ. Chứng minh rằng f x không thể có nghiệm số nguyên. Giải Giả sử đa thứcf x có nghiệm số nguyên a thì f x X - ữ do đó f x x - a g x g x là đa thức có hệ số .