tailieunhanh - Bài toán về đường tròn trong hệ phương trình có tham số - Nguyễn Đễ

Tài liệu tập hợp cách biện luận số nghiệm của hệ phương trình hai ẩn có chứa tham số, một vấn đề mà nhiều bạn đọc quan tâm. | PHƯƠNG PHÁP Vê bài toán đường tròn thẾ ỂÌulỄỂịlữỂUi WdrilMhli ỄÚk Vhhflttft rtA fm WVB vRfflNv VW VUVwgR Ww NGUYỄN ĐỄ Hải Phòng G2ĂJ TOÁĨi Trong bài báo này chúng tôi xin giới thiệu một cách biện luận sô nghiệm của hệ phương trình PT hai ẩn có chứa tham số một vân dê mà nhiều bạn đọc quan tâm. Cụ thể là một sô hệ có dạng sau Dạng 1. Cả hai PT của hệ đều là PT của một đường tròn trong hệ trục tọa độ Oxy. Dạng 2. Một PT của hệ là phương trình một dường tròn. PT còn lại của hệ là PT của một đường thẳng hoặc PT của mật dường cong bậc hai trong hệ trục Oxy. Dối với dạng l thì việc biện luận số nghiệm của hệ PT được quy về việc xét vị trí tương dối của hai dường tròn. Dối với dạng 2 thì chúng ta xét vi tri tương đối của dường tròn với dường thăng hoặc với đường cong bậc hai. Sau đây là một sô thí dụ minh họa. Thí dụ 1. Với những giá trị nào của tham sô m thì hệ phương trình x-ỉ-4m 2 y-ỉ-3m 2 9m2 x-sý -d 2 4 có nghiệm duy nhất Lời giải. PT thứ nhất của hệ đã cho là PT đường tròn C có tâm 1 4 77 1 3 77 bán kính Rị 31 711 PT thứ hai của hệ là đường tròn C2 có tâm 2 5 3 bán kính R2 2. Để hệ PT có nghiệm duy nhất thì C và C2 phải tiếp xúc với nhau. Trường hợp 1. Hai đường tròn Cj và C2 tiếp xúc ngoài với nhau. Ta có Iỵl2 Rị R2 hay 7 5-l-4m 2 3-1-3m 2 3 m 2. Bình phương hai vế đi đến 4 772 -l 1 m-31 m I 4 0 1 Nếu m 0 thì 1 có dạng 2 -7 u. 0-n 2m -lm 2- ư m -- 0. 4 Nếu m 0 thì 1 có dạng m2 -2m ồ m-1 2 0 m l 0 loại . Trường hợp 2. Hai đường tròn C và C2 tiếp xúc trong với nhau lúc đó có IịI2 1 Rị -R21 ự 4-4 77 2 2-3 7i 2 2-3 71 . Bình phương hai vế ta được 4 772 -l 1 m 31 m I 4 0 2 Nếu m 0 thì 2 có dạng m2 - 2m 1 0 22 1 2 0 1 0. Nếu m 0 thì 2 có dạng 4m2 - 14 77 4 0 m 0 loại . 4 7 Ts3 _ Đáp sô. m - 1 m --- . Thí dụ 2. Tìm tất cả giá trị của tham sô a sao cho hệ phương trình x2 y2 4 4 x y x-3 2 y-4 2 ữ2 có nghiêm duy nhất. Lời giải. Hệ đã cho được viết lại dưới dạng x-2 2 y-2 2 4 x-3 2 y-4 2 a2. Rõ ràng hai PT của hệ đều là PT đường tròn lần lượt có tâm và bán kính 2 2 Rị 2 2 3 4