tailieunhanh - Giáo trình Lý thuyết xác suất và thống kê toán học - Phần 2

Nối tiếp phần 1 của cuốn sách " Lý thuyết xác suất và thống kê toán học" phần 2 sẽ giới thiệu tới các bạn các nội dung cơ bản sau: Hội tụ ngẫu nhiên, thống kê mô tả, lý thuyết ước lượng. Mong rằng tài liệu sẽ hỗ trợ các bạn các thông tin liên quan đến xác suất thống kê và toán học. Cùng tham khảo để nắm bắt nội dung thông tin vấn đề.     | CHƯƠNG 4 HỘI TỤ NGẪU NHIÊN I. HỘI TỤ XÁC SUẤT 1. Khái niệm hội tụ xác suất. Định nghĩa. Cho X là biến ngẫu nhiên và Xn n 1 là dãy biến ngẫu nhiên trên không gian xác suất fì B P . Ta nói rằng Xn n 1 hội tụ xác suất đến X ký hiệu P n 2 n x nếu V 0 P Xn - X 0 khi n V 0 P Xn - X 1 khi n Ví dụ. Người ta cho vô số quả cầu vào 3 thùng với xác suất như nhau. Với mọi n 0 gọi Yn là tần số và Xn là tần suất quả cầu rơi vào thùng thứ nhất trong số n quả cầu thả vào ba thùng. Chứng minh rằng P 1 Xn 4 n x 3 Giải. Với mọi n 0 Yn có phân phối nhị thức B n 1 3 với 1 ________ 2 E Yn và D Yn Với 0 bất kỳ ta có P 1 3 1 - n. 3 n k - n nJ y P Yn k 7 V P Yn k 7 1 2 2 J P Yn k 1 2 D Yn 2 . 2 y k - 3 n-e n í y k -k 0 k Từ đó suy ra P X -1 fl - 0 I n 3 I n Ị p. 1 n Ị 3 n Ví dụ 2. Cho dãy biến ngẫu nhiên Xn n 1 À 0 Xn có phân phối mũ E với mọi n 1. Chứng minh rằng Xn 0. n Ị Với 0 bất kỳ ta có p Xn - 0 e n X - e n Ị e n Từ đó suy ra p X - 0 - 0 X 0 I n I n Ị n n Ị 2. Bất đẳng thức Trebưsep. Cho biến ngẫu nhiên X có phương sai D X . Khi đó V 0 P X - E X DQ CM. i Trường hợp X là biến ngẫu nhiên rời rạc với luật phân phối Xi pi i e I . Với 0 ta có __ __ í V - rí X 2 P IX - E X y p y Ix E ĨX I p x -E X x -E X A Ả y x - E X ỳ p Dffl tí ii Trường hợp X là biến ngẫu nhiên liên tục với hàm mật độ f t . Với 0 ta có . t-F X I2 P X - E X J f t dt J I t E X l f t dt t - E X t - E X V 1 Ị rư x J t - E X t dt DE 2 2 -Ị 3. Luật số lớn yếu. a Định lý Trebưsep. Cho X1 X2 . Xn . là dãy biến ngẫu nhiên không tương quan từng đôi và có phương sai bị chặn bởi hằng số C nào đó. Ký hiệu n Xi - E Xi Yn ------------- V n 1 2 . n Khi đó P Yn 0 n x CM. Ta có 1 r 1 nC C E Yn 1 E X - E Xi 0 và D Yn D Xi nC C- n i n n n Theo bất đẳng thức Trebưsep suy ra với mọi 0 . C P Yn C và từ đó ta có P P Yn . 0 Yn 0 n x đpcm Sau đây là các trường hợp riêng của định lý Trebưsep. b Định lý Khin-Chin. Cho X1 X2 . Xn . là dãy biến ngẫu nhiên không tương quan từng đôi có phương sai bị chặn