tailieunhanh - Tài liệu giải tích (cơ bản) Không gian Mêtric - PGS TS. Lê Hoàn Hóa

Tài liệu giải tích (cơ bản) không gian Mêtric là tài liệu ôn thi cao học năm 2005 do PGS TS Lê Hoàn Hóa biên soạn. Trong toán học không gian mêtric là một tập hợp mà một khái niệm của khoảng cách (được gọi là mêtric) giữa các phần tử của tập hợp đã được định nghĩa. Nội dung của tài liệu trình bày về khái niệm, định nghĩa, tính chất và bài tập liên quan đến không quan mêtric đầy đủ, không gian Mêtric và ánh xạ liên tục. Với những kiến thức được trình một cách hệ thống và nhiều bài tập ứng dụng tài liệu sẽ giúp ích rất nhiều cho người đọc trong quá trình học môn này. | GIẢI TÍCH CƠ BẢN Tài liệu ôn thi cao học năm 2005 Phiên bản đã chỉnh sửa PGS TS. Lê Hoàn Hóa Ngày 21 tháng 12 năm 2004 KHÔNG GIAN MÊTRIC tt 5 Không gian mêtric đầy đủ Định nghĩa Cho X d là không gian mêtric và xn n là dãy trong X. Dãy xn n là dãy cơ bản 0 3n0 E N Vn n0 Vp E N thì d xn p xn e. Không gian mêtric X d được gọi là không gian mêtric đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản đều hội tụ. Cho X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên 0 1 với mêtric d x y max x t y t t E 0 1 . Cho xn n định bởi xn t tn ta có lim xn t n Ị 0 nếu 0 t 1 ì 1 nếu t 1 Tuy nhiên xn n không phải là dãy cơ bản trong X vì d xn x2n max tn t2n t E 0 1 4 với mọi n E N. Thí dụ 1 Rn với mêtric d x y En i xi yi 2 1 2 là không gian mêtric đầy đủ. 2 X là tập hợp các hàm số thực liên tục trên a b với mêtric d x y max x t y t t E a b là không gian mêtric đầy đủ. 3 lp x xn n sr xn p ro p 1 với mêtric định bởi với x xn n y yn n trong lp ta định nghĩa d x y xn y ì 1 p x lp d là không gian mêtric đầy đủ. Định nghĩa Cho X d là không gian mêtric D là tập hợp con khác rỗng của X. Với x y E D đặt dD x y d x y . Khi đó dD là mêtric trên D và D dD là không gian mêtric con của X d . 8 Giả sử X d là không gian mêtric đầy đủ và D c X. Khi đó D là không gian mêtric đầy đủ o D là tập đóng Thật vậy giả sử D dD là không gian mêtric đầy đủ xn n là dãy trong D limn x xn x. Ta chứng minh x G D. Do xn n là dãy trong X d hội tụ về x nên xn n là dãy cơ bản trong X d . Với 0 cho trước có no 6 N sao cho với mọi n no và p E N thì d xn p xn E. Do xn G D Vn G N nên dD xn p xn d xn p xn . Vậy xn n là dãy cơ bản trong D dD . Do D dD là không gian mêtric đầy đủ nên xn n hội tụ trong D dD và do giới hạn duy nhất nên limn_ x xn x G D. Vậy D là tập đóng. Ngược lại giả sử D là tập đóng. Cho xn n là dãy cơ bản trong D dD . Do dD xn p xn d xn p xn Vn p E N nên xn n cũng là dãy cơ bản trong không gian mêtric đầy đủ X d vậy hội tụ. Đặt x limn_ x xn. Do D là tập đóng nên x G D. Suy ra limn_ x dD x xn limn_ x d x xn 0 hay limn_ x xn x trong D