tailieunhanh - Tài liệu: Giới hạn dãy số

Đây là bài tập về giới hạn dãy số gửi đến các bạn học sinh tham khảo. | 2. GIỚI HẠN CỦA DÃY số 1 . Dãy số gọi là có giới hạn bằng L khi n - 00 và kí hiệu là L lim un a nếu như với mọi 0 tồn tại số nguyên dương nữ sao cho với mọi n n0 ta có h - 2. Giả sử tồn tại lim un a lim vn h thì n 4-00 n 4-00 a lim un vn lim un lim vn a h - 4-00 ỉ 4-00 4-00 b lim u .v lim un. lim vn ab lim un c Nếu b 0 thì lim y. - vn lim vn b 00 3. Nếu un v Vrt và tồn tại a lim un b lim v thì a b. - 4-00 - 4-00 4. a Nếu là dãy đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi M thì tồn tại giới hạn hữu hạn L lim un và L M. - 4-00 b Nếu í n là dãy đơn điêu giảm và bị chặn dưới bởi m thì tồn tại giới hạn hữu hạn L lim un và L m. - 4-00 5. Nguyên lí kẹp . Nêu v w V n và tồn tại các giới hạn hữu hạn lim V lim wn. n n n - 4-00 - 4-00 Ngoài ra lim vn lim wn a. - 4-00 - 4-00 Khi đó lim un a. - 4-00 15 Chương 2. GIỚI HẠN CỦA DÃY số BÀI 1. Xét dãy số un xác định như sau M0 l u - - với 1 1 2 . 3 wn-l Chứng minh rằng dãy 1 có giới hạn và hãy tìm limz . n 00 Bài giải Ta có 1 311 1 - M l Un 77 77- ------- 3 un 3 un Bây giờ ta chứng minh rằng un 2 với mọi n 0 1 2 . 2 được chứng minh bằng quy nạp như sau 1 2 - Với 1 0 thì un 1 với n 1 thì U - 0 1 4 Từ đó dễ dàng suy ra 2 đúng khi 1 0 và 1 1. - Giả sử kết luân 2 đã đúng đến n k tức uk ____-3 75. 3 V5 Khi đó 3 uk -- --- 3 k 2 2 12 3-V5 3 uk 3 V5 2 1 -3 V5 3 uk 2 84 Vậy 2 cũng đúng với 1. Theo nguyên lí quy nạp suy ra 2 đúng với __. n 3 y 5 o _ 3 SỈ5 mọi n. Vì u - - với mọi n nên 3 m - tức là 2 2 3 un 0 với mọi n 0 1 2 . Do un - theo 2 nên theo định lí thuận về dấu tam thức bậc hai thì W2 3w 1 0 với mọi n 0 1 2 . n n Vây từ 1 có un wn 1 với mọi n nghĩa là là dãy đơn điệu giảm và bị chặn dưới bởi -3 x r 2 Suy ra tồn tại giới hạn của khi n - 00 và đặt lim un X. n- a Từ un - - và lấy giới hạn 2 vế khi n - 00 ta có 3 w -i _ -1 lim un - -------- - 3 ỊỊmwn_ị 71 00 1 _ -1 hay X 3 x X2 3x 1 0. 3 Để ý rằng un với mọi n nên X lim un 4 2 - 2 Bây giờ từ 3 4 đi dêh -3 5 lim U - . - 00 2 .