tailieunhanh - .KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 MÔN: TOÁN

Câu 3 (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuông góc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác I thì OI vuông góc với CD | KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 VÀ THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HSG QUỐC GIA NĂM 2011 MÔN: TOÁN Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình: Câu 2 (5 điểm) Cho dãy số ( ) xác định bởi: Tìm Câu 3 (5 điểm) Cho tứ giác lồi ABCD. a. Qua D kẻ các đường thẳng a, b, c sao cho a vuông góc với DA; b vuông góc với DB; c vuông góc với DC. Gọi A’, B’, C’ lần lượt là giao điểm của a và BC, b và CA, c và AB. Chứng minh ba điểm A’, B’, C’ thẳng hàng. b. Giả thiết AB=AC=BD, AC và BD cắt nhau tại P. Gọi O và I lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác ABP. Chứng minh rằng nếu O khác I thì OI vuông góc với CD. Câu 4 (3 điểm) Cho 2 số nguyên dương m, n thoả mãn m n và m n là số chẵn. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình: đều là các số nguyên nhưng không là số chính phương. Câu 5 (3 điểm) Trong mặt phẳng cho 26 điểm đôi một phân biệt nằm trong một tam giác đều cạnh bằng 1. Chứng minh rằng trong số 26 điểm đã cho tồn tại 2 điểm mà khoảng cách giữa chúng không lớn hơn 0,2. ----------------------- HẾT ----------------------- Họ và tên thí sinh Số báo danh. Họ tên, chữ kí giám thị số 1:. Họ tên, chữ ký giám thị số 2: