tailieunhanh - ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 MÔN TOÁN

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) | SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ————————— ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2010-2011 ĐỀ THI MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT chuyên Vĩnh Phúc ) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề. ———————————— Câu I (4,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình 2. Giải phương trình Câu II (1,0 điểm) Tìm tất cả các bộ ba số hữu tỷ dương sao cho mỗi một trong các số là một số nguyên. Câu III (2,0 điểm) 1. Giả sử là các số thực dương thỏa mãn . Chứng minh rằng luôn tồn tại số tự nhiên sao cho 2. Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có bất đẳng thức Câu IV (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H. Tiếp tuyến tại B, C của đường tròn (O) ngoại tiếp tam giác ABC cắt nhau tại điểm T, các đường thẳng TD và EF cắt nhau tại điểm S. Gọi X, Y lần lượt là giao điểm của đường thẳng EF với các đường thẳng TB, TC; M là trung điểm của cạnh BC. 1. Chứng minh rằng H, M lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác DEF và XTY. 2. Chứng minh rằng đường thẳng SH đi qua trung điểm của đoạn thẳng BC. Câu V (1,0 điểm) Kí hiệu chỉ tập hợp các số tự nhiên. Giả sử là hàm số thỏa mãn các điều kiện và với mọi . Tính các giá trị của và . -------------Hết------------- Chú ý: Giám thị coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: SBD: Tham khảo đáp án: