tailieunhanh - Đề thi olympic Toán học sinh viên cấp trường môn Đại số (năm 2011)

Xin giới thiệu tới các bạn học sinh "Đề thi olympic Toán học sinh viên cấp trường môn Đại số (năm 2011)". Đề thi gồm có 6 câu hỏi tự luận với thời gian làm bài 180 phút. Hy vọng tài liệu là nguồn thông tin hữu ích cho quá trình ôn thi và làm bài thi của các bạn. | ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN HỌC SINH VIÊN CẤP TRƯỜNG NĂM 2011 Môn thi Đại số Thời gian làm bài 180 phút không kể thời gian phát đề 1 2 2 1 1 0 Câu 1. Cho hai ma trận A 3 1 0 và B 0 1 1 1 1 1 k 7 0 0 1 1 7 . Tìm ma trận X sao cho AXA AB Gợi ý Do det A -1 nên tồn tại A 4. Vậy X BA 4. x 2 2 2 2 x 2 2 Câu 2. Giải phương trình 2 2 x 2 2 2 2 x 0 4 Gợi ý Thực hiện phép biến đoi sơ cấp c1 Cị sau đó lấy dòng 2 3 4 trừ dòng 1 ta được ma trận tam giác trên có định thức bằng x 6 x - 2 3. x 1 2x 2 3x 3 x 4 2x 5 3 Câu 3. Giải hệ phương trình 2x 1 3x2 3x3 2x4 x5 5 3x1 x2 2x3 x 4 2x 5 6 4x. 2x 2x 3x 4x. 7 1 2 3 4 5 5x 4x 4x 6x 5x 8 1 2 3 4 5 Gợi ý Lập ma trận AB dùng phép biến đổi sơ cấp đưa về ma trận tam giác trên giải nghiệm từ dưới lên trên ta được x1 2 x2 1 x 3 0 x4 -1 x5 0. Câu 4. Cho A là ma trận vuông cấp 2011 mà các phần tử ở dòng i đều bằng 1 ii. Tìm phần tử ở dòng 2 cột 3 của ma trận A2. Gợi ý Giả sử A Cij 2011. Khi đó C23 d2 A X c3 A với d2 A 2 2 2 và 1 2 C3 A 2011 Câu 5. Tìm m để ma trận sau có hạng nhỏ nhất A 1 1 2 1 m 2 1 1 2 1 3 0 1 1 m2 4 1 Gợi ý Đối cột 1 và cột 4 dùng phép biến đối sơ cấp đưa ma trận về dạng bậc thang. Biện luận theo m -1 và m2 -17 thì hạng ma trận nhỏ nhất là 3 ứng với m 1 m 717 m Ĩ7. Câu 6. Tìm các số thực a b để f x x4 2x3 3x2 ax b là bình phương của một đa thức. Gợi ý Do f x x2 x 1 2 a 2 x b 1 nên a 2 b 1.