tailieunhanh - Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải PT, BPT-THPT Số 1 Bố Trạch

Sau đây là một số bài tập và đôi điều về sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình để có thêm nhiều tài liệu ôn tập, giúp các bạn nâng cao khả năng suy nghĩ và giải quyết các bài Toán khó. Chúc các bạn đạt được kết quả mong muốn. | 4 Ổ Ổ ể ể SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ì GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH í y SỬ DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH - BẤT PHƯƠNG TRÌNH Đối với các phương trình bất phương trình ngoài các dạng quen thuộc đôi khi còn gặp dạng phức tạp mà để giải nó đòi hỏi phải có những nhận xét đặc biệt. Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình bất phương trình. Định lí 1 Nếu hàm số y f x luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D f x k không nhiều hơn một và f x f y khi và chỉ khi x y với mọi x y thuộc D. Chứng minh Giả sử phương trình f x k có nghiệm x a tức là f a k. Do f x đồng biến nên x a suy ra f x f a k nên phương trình f x k vô nghiệm x a suy ra f x f a k nên phương trình f x k vô nghiệm Vậy pt f x k có nhiều nhất là một nghiệm. Chú ý Từ định lí trên ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau Bài toán yêu cầu giải pt F x 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f x k hoặc f u f v trong đó u u x v v x và ta chứng minh được f x là hàm luôn đồng biến nghịch biến Nếu là pt f x k thì ta tìm một nghiệm rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Nếu là pt f u f v ta có ngay u v giải phương trình này ta tìm được nghiệm. Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất nghiệm. Định lí 2 Nếu hàm số y f x luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến và hàm số y g x luôn nghịch biến hoặc luôn đồng biến và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x không nhiều hơn một. Chứng minh Giả sử x a là một nghiệm của pt f x g x tức là f a g a .Ta giả sử f x đồng biến còn g x nghịch biến. Nếu x a suy ra f x f a g a g x dẫn đến phương trình f x g x vô nghiệm khi x a. Nếu x a suy ra f x f a g a g x dẫn đến phương trình f x g x vô nghiệm khi x a. Vậy pt f x g x có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý Khi gặp phương trình F x 0 và ta có thể biến đổi về dạng f x g x trong đó f x và g x khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một