tailieunhanh - Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 10 (Đề 2)

Dưới đây là Đề thi học sinh giỏi cấp huyện môn Toán lớp 10 (Đề 2) dành cho các em học sinh đang chuẩn bị cho kì thi này, giúp các em củng cố kiến thức luyện thi một cách hiệu quả. | ĐỀ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG MÔN: TOÁN 10 Thời gian làm bài : 120 phút Câu 1 (3,0 điểm) 1. Giải hệ phương trình: 2. Tìm tất cả hàm số thoả mãn: và . Câu 2 (2,0 điểm) Tìm tất cả các số nguyên tố sao cho chia hết cho . Câu 3 (2,0 điểm). Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp được một đường tròn. Một đường thẳng đường đi qua A cắt đoạn thẳng BC, tia đối của tia CD tương ứng tại E, F (E, F không trùng với B, C). Gọi và lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác ABE, ECF và FAD. Tiếp tuyến của đường tròn song song với CD (gần CD hơn) cắt tại H. Chứng minh rằng H là trực tâm của tam giác Câu 4 (2,0 điểm). Xét các số thực dương thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Câu 5 (1,0 điểm). Tìm tất cả các tập hợp X là tập con của tập số nguyên dương thoả mãn các tính chất: X chứa ít nhất hai phần tử và với mọi thì tồn tại sao cho ĐÁP ÁN: Câu Nội dung trình bày Điểm 1 2,0 điểm Điều kiện xác định: thay vào (1) ta được 0,5 0,5 Do 0,5 Suy ra EMBED thay vào (2) ta được Vậy hệ phương trình có nghiệm . 0,5 1,0 điểm Ta có: với . 0,25 Mặt khác . 0,25 0,25 Vậy 0,25 2 2,0 điểm đều khác . Không mất tính tổng quát ta giả sử . Khi đó từ giả thiết ta được hoặc 0,5 TH1. , theo định lí Fermat ta có: 0,5 TH2. , ta có tồn tại 2 số nguyên dương sao cho EMBED 0,5 Với , từ giả thiết ban đầu ta được: EMBED Vậy 0,5 3 2,0 điểm Giả sử tiếp tuyến qua H song song với CD của đường tròn cắt BC tại K và đường thẳng qua H song song với BC cắt đường thẳng CD tại L, suy ra CKHL là một hình bình hành. 0,5 Do các tứ giác ABCD, ABKH ngoại tiếp, nên Suy ra tứ giác ADLH ngoại tiếp, hay HL tiếp xúc với 0,5 Vì nên các đường phân giác của góc và của góc vuông góc với nhau; hay (Do thẳng hàng) (1) 0,5 Chứng minh tương tự, cũng được hay (2) Từ (1) và (2) suy ra điều phải chứng minh. 0,5 4 2,0 điểm Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 0,5 Cộng ba bất đẳng thức cùng chiều, thu được (1) Mặt khác, do nên (chia hai vế cho 4) (2) 0,5 Cộng (1) và (2), vế đối vế, ta được 0,5 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức L bằng 13, đạt được khi 0,5 5 1,0 điểm Giả sử tìm được tập hợp X thỏa mãn và là hai phần tử bé nhất của X. Khi đó, do cách xác định X nên tồn tại sao cho . Suy ra và do đó hoặc . Với vô lí. 0,25 Với +) Nếu thì tập hợp . +) Nếu , gọi là phần tử bé thứ ba của (tức là ). Khi đó tồn tại sao cho 0,25 Do nên hoặc hoặc . Nếu thì , vô lý. Vậy và 0,25 Nhưng tồn tại sao cho , do đó . Mà , vô lý. Vậy và . 0,25 Page 1