tailieunhanh - Bài 3: Các bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ

Nhằm giúp các bạn có thêm tài liệu phục vụ nhu cầu học tập và nghiên cứu, nội dung bài 3 "Các bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ" dưới đây. Nội dung tài liệu cung cấp cho các bạn những câu hỏi bài tập về bất đẳng thức liên quan tới lũy thừa mũ hữu tỷ hoặc mũ vô tỷ. | Bài 3. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC LIÊN QUAN TỚI LŨY THỪA MŨ HỮU TỶ HOẶC MŨ VÔ TỶ 1 Định lý 1. a-Nếu x -1 và 0 a 1 thì 1 x a 1 ax 1 b-Nếu a 0 hoặc a 1 thì 1 x a 1 ax 2 Dấu bằng ở 1 và 2 xảy ra khi và chỉ khi x 0. m Chứng minh. hết ta giả sử rằng a là sô hữu tỷ và theo giả thiết 0 a 1. Đặt a với m n là n các sô nguyên dương và 1 m n. Vì theo giả thiết 1 x 0 nên 1 x a 1 x m n 1 x m .1n-m n 1 x . 1 x . 1 x . m n m 1 x 1 x . 1 x 1 1 . 1 n m 1 x n - m n mx 1 m x 1 a n n n Dấu bằng trong bđt cần chứng minh xảy ra khi và chỉ khi mọi thừa sô dưới dấu căn bằng nhau tức là khi 1 x 1 x 0. Còn nếu x 0 thi 1 x 1 ax Như vậy ta đã chứng minh xong 1 với a là số hữu tỷ. Dưới đây ta chứng minh 1 cho trường hợp a là số vô tỷ và 0 a 1. Ta gọi r1 r2 . . . rn là dãy các sô sô hữu tỷ mà chúng có giới hạn là a . Thêm nữa 0 rn 1. Từ bđt 1 x rn 1 rnx trong đó x -1 n 1 2 3 . . đã được chứng minh ở trên với trường hợp sô mũ hữu tỷ ta có 1 x Ỵ lim 1 x rn lim 1 rnx 1 ax rn a rn a Bây giờ ta chuyển đến chứng minh bđt 1 với a vô tỷ khi x 0 và 0 a 1 Ta lấy một số hữu tỷ r sao cho a r 1 khi đó bđt 1 x có thể viêt lại như sau 1 x a a r 1 x r Vì 0 a 1 nên như ta đã chứng minh ở trên 1 x r 1 a x rr Do đó r a a a 1-I x I 1 r x 1 ax tức là 1 x 1 ax phần a của định lý 1 đã cm xong r r Ta chuyển đến cm phần b. b. Nêu 1 ax 0 thì bđt 2 luôn luôn đúng vì vê trái của nó không âm còn vê phải là một giá trị âm. Còn nêu 1 ax 0 o ax -1 thì ta sẽ xét hai trường hợp sau b1- Khi a 1 theo phần a của định lý đã được cm ở trên ta có 1 ax a 1 ax 1 x 3 a Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0. Nâng cả hai vê của 3 lên lũy thừa a ta được 1 ax 1 x a b2- Trường hợp thứ hai Khi a 0. Nêu 1 ax 0 thì bđt 2 hiển nhiên đúng. a Còn nêu 1 ax 0 thì ta chọn một số nguyên dương n sao cho- 1. n Do phần a của định lý ta có _a 1 x n 1 - a x n 1 a 1 x n -- 1 a x 4 1 n 1 x n Bất đẳng thức 4 đúng vì 1 1 - - x2 nâng lên lũy thừa n cả hai vê bđt 4 được n a a 1 a 1 _ 1 x 11 x I 1 n x 1 ax I n n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x 0. Trường hợp b .