tailieunhanh - Định lí con bướm

Bài viết "Định lí con bướm" sẽ khai thác một số ứng dụng của định lí con bướm trong các bài toán hay và thú vị, đa phần trong số đó là các bài thi toán của nhiều nước trên thế giới. Mời các bạn cùng tìm hiểu và nắm bắt nội dung thông tin tài liệu. | ĐỊNH LÍ CON BƯỚM Hoàng Minh Quân - THPT Ngọc Tảo - Hà Nội Định lí con bướm phát biểu về một bài toán đẹp có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Bài viết sau đây sẽ khai thác một số ứng dụng của định lí con bướm trong các bài toán hay và thú vị đa phần trong số đó là các bài thi toán của nhiều nước trên thế giới. Do thời gian và trình độ có hạn nên bài viết khó tránh khỏi thiếu sót. Mọi góp ý và bổ sung cho bài viết hoàn thiện hơn xin gửi về địa chỉ Hoangquan9@ . Hà Nội tháng 7 năm 2012 Hoàng Minh Quân 1 I. NỘI DUNG ĐỊNH LÍ CON BƯỚM Định lí Cho đường tròn O với dây cung AB. Gọi I là trung điểm của AB qua I dựng hai dây cung MN và PQ sao cho MP và NQ cắt AB lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng I là trung điểm của đoạn thẳng EF. Chứng minh Bài toán này có nhiều cách chứng minh sau đây tôi sẽ trình bày những cách chứng minh đơn giản dễ hiểu và sơ cấp nhất đến với bạn đọc. Mỗi chứng minh lại là một con đường riêng một vẻ đẹp riêng của môn hình học phẳng mà ở đó những bạn yêu thích môn toán sẽ cảm nhận từ từ vẻ đẹp nghệ thuật đan xen những xử lí tinh tế hình học trong đó. Lời giải 1 Hoàng Minh Quân 2 Vì I là trung điểm AB nên ta có OI AB. Gọi C D lần lượt là trung điểm của MP NQ ta có OC MP OD NQ .Vậy các tứ giác IOCE IODF là các tứ giác nội tiếp đường tròn .Do đó ta có I OE ICE và I OF I DF . 1 Mặt khác dễ thấy AIMP đồng dạng AIQN và IC ID là hai đường trung Ắ . IC IP PM CP tuyến tương ứng nên ta có IQ IN NQ Do đó AICP đồng dạng AIDN -- nên ICE I DF 2 . Từ 1 và 2 ta có IOE À -XI I- V i i 4- i T 1 4- Â T-ĩ r- IOF AOEF cân tại O từ đó ta có I là trung điểm EF. Đpcm Lời giải 2 Hoàng Minh Quân