tailieunhanh - Ebook Cơ học môi trường liên tục: Phần 2 - Dương Văn Thứ (chủ biên)

Nối tiếp nội dung phần 1, phần 2 cuốn sách "Cơ học môi trường liên tục" giới thiệu tới người đọc các kiến thức: Các định luật cơ bản của cơ học môi trường liên tục và các mô hình môi trường liên tục, lý thuyết đàn hồi tuyến tính, bài toán đàn hồi tuyến tính phẳng trong hệ tọa độ Descartes, bài toán đàn hồi tuyến tính phẳng trong hệ tọa độ cực. | CHƯƠNG IV CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA CƠ HỌC MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC VÀ CÁC MÔ HÌNH MÔI TRƯỜNG LIÊN TỤC . ĐỊNH LUẬT BẢO TOÀN KHỐI LƯỢNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH LIÊN TỤC CỦA KHỐI LƯỢNG Một thuộc tính cơ bản của môi trường vật chất là khối lượng. Xét phần MTLT chiếm thể tích V trong không gian với diện tích bao quanh S. Ở thời điểm t nào đó, tổng khối lượng vật chất chứa trong V được tính như sau: m = ∫ ρ( xi , t)dV (4-1) V Trong đó ρ( x i , t) là hàm mật độ khối lượng vật chất. Định luật bảo toàn Khối lượng khẳng định rằng: Tổng khối lượng vật chất của phần MTLT chứa trong thể tích V này không đổi theo thời gian trong suốt quá trình chuyển động. dm d (4-2) = ∫ ρ( xi , t)dV = 0 dt dt V Điều này cũng có nghĩa là, trong một đơn vị thời gian, độ biến thiên khối lượng vật chất chứa trong thể tích V ∂ρ Δm = ∫ dV (a) ∂t V bằng khối lượng vật chất chuyển từ ngoài vào miền đang xét qua bề mặt S. rr % Δm = − ∫ (b) S ∂ρ là độ biến thiên mật độ khối lượng vật chất theo thời gian. ∂t r v là véc tơ vận tốc chuyển động của phần tử vật chất môi trường. r n là véc tơ đơn vị pháp tuyến ngoài của mặt ds. Dấu trừ để chỉ lượng vật chất chuyển vào môi trường qua mặt S ngược chiều với véc tơ pháp tuyến ngoài. Áp dụng định lý div (1-21) cho (b) ta có: rr r ∂ (ρvi ) ° (c) Δm = − ∫ = − ∫ div(ρv)dV = − ∫ dV ∂xi S V V Trong đó: Theo định luật bảo toàn Khối lượng: % % Δm = Δm hay Δm − Δm = 0 ∂ρ hay: ⎡ ∂ρ ⎤ ∂ (ρvi ) ∂ dV = ∫ ⎢ + (ρvi ) ⎥ dV = 0 ∂xi ∂t ∂xi ⎦ V V⎣ ∫ ∂t dV + ∫ V Vì thể tích V tuỳ ý, nên biểu thức dưới dấu tích phân trong (d) phải bằng không. ∂v ∂ρ ∂ ∂ρ ∂ρ (ρvi ) = vi + ρ i = 0 + + ∂t ∂xi ∂t ∂xi ∂xi (d) (e) Theo (2-11) dρ ∂ρ ∂ρ , thay vào (e) được: vi = + dt ∂t ∂xi ∂v dρ (4-3) +ρ i = 0 dt ∂xi r dρ hay ở dạng véc tơ + ρdivv = 0 (4-3)’ dt Phương trình (4-3)’ viết ở dạng véc tơ, nên đúng cho mọi hệ toạ độ, còn (4-3) viết trong hệ toạ độ Euler, gọi là phương trình liên tục khối lượng. Phương trình (4-3) cũng có thể nhận được bằng cách biến đổi trực tiếp phương .